Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размер-

498

Разное о XI

ность в привычном для нас виде (О = 1п/У*/1п2), необходимо прежде определить 1п /У* следующим образом:

ГДе 7Г1 = (1 + (I)3, 7Г8 = (1 - С?)3, 7Г2 = 7Г3 = 7Г4 = (1 + С?)2(1 - С?) И 7Г5 = 7Г6 = 7Г7 = (1 + С()(1 - С?)2.

Заключение. Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент с? явно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность Е.

3. ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ БЕЗИКОВИЧА

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале [0, 1] с Ъ = 3.

Допущения. Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу [0, 1] с единичной плотностью, и поделим ее между тремя третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса ]¥о, \¥\ и ]¥2, удовлетворяющих следующим условиям:

A) %УУо + УзИ7! + УзИ^г = 1. Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес Wi ограничен значением Ъ. Величину У3И^, которая представляет собой массу г-й трети, мы обозначим через щ.

Б) Равномерное распределение Wi = У3 исключено.

B) \VoW\W-2 > 0. Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай (\¥о = У2, УУ\ = 0 и ]¥2 = 1/2).

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значе-

ния: \¥0\¥и Ц/0Ц/2, У/гУ/о, Ц/?, Ш{№2, П^2Ц/0, Ц/2Ц/Ъ Ц/%.

Заключения. Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (большей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А) Сингулярность. Фрактал Безиковича. Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В.

39 о Математическое приложение и дополнения