деляется вдоль геодезических линий), либо гильбертово пространство. Для каждой из соответствующих броуновских функций значение разности В (Р) — В (Ро) является гауссовой случайной величиной с нулевым средним и дисперсией G(\PPq\), где G(х) = х. Рекомендую также обратить внимание на статьи [421] и [70].

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда П — сфера. В этом случае функция В (Р) строится, как описано в главе 28: на поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, а функция В (Р) определяется как интеграл этого белого шума по поверхности полусферы, северный полюс которой совпадает с точкой Р. Вообще-то, я предпочитаю несколько иной вариант, в котором берется половина интеграла по одной полусфере, а затем вычитается половина интеграла по другой полусфере. Такая процедура позволяет обобщить второй процесс, описанный в подразделе 4.

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда CI — RE [79]. Этот случай требует более сложного алгоритма (алгоритм был предложен Ченцовым). Наиболее наглядное представление об этом алгоритме можно получить, когда пространство Г2 есть М2, и В (0, 0) = 0. Построим вспомогательный цилиндр единичного радиуса с координатами и и в и наложим на него слой белого шума. Далее (в модифицированном мною [379] варианте алгоритма) проинтегрируем этот шум по прямоугольнику от в до 6 + d6 и от 0 до и. Получим броуновскую функцию из прямой в прямую, которая обращается в нуль при и = 0; обозначим ее через В (и, в, d6). Для каждой точки (х, у)

39 о Математическое приложение и дополнения

493

плоскости броуновские составляющие В (х cos в + у sin в, в, dff) статистически независимы, а их интеграл по в равен В (ж, у).

10. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

В работе Ганголли [161] (отдельные моменты которой были предвосхищены еще Ягломом [608]) функция В (Р) обобщается до случая G (х) = х2Н (см. предыдущий подраздел). Здесь, однако, не приводится явного алгоритма для построения результирующей функции. Для того, чтобы заполнить этот пробел, я обобщил в [379] построение Чен-цова, заменив каждую функцию В (и, в, d9) двусторонне определенной дробной броуновской функцией из прямой в прямую.