Литература. Преобразование Римана-Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456], [503], [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].

Влияние на гладкость. Когда порядок Н — г/2 преобразования Римана-Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При Н — У2 < 0 преобразование Римана-Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.

Дробное интегро-дифференцирование броуновских функций. В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр Н сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка Н — — У2 > У2 броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок Н — г/2 не может превышать У2, поэтому функция Вн (£) не является дифференцируемой.

И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра Н < 0, следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше — г/2.

492

Разное о XI

Двустороннее обобщение дробного интегро-дифференциро-вания. То обстоятельство, что классическое определение Римана-Ли-увилля сильно асимметрично по отношению к переменной t, не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока t обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата t может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:

t ос

Вн (*) = [Г (Я + Уз)]"1 J (t - s)H~^ dB (s) - J(t- з)н-Ъ dB (s).

— OO t

9. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Леви (см. [306, 307, 308, 309, 310]) вводит понятие броуновских функций из пространства Q в вещественную прямую, где Q представляет собой либо обычное пространство RB (расстояние |РРо | определяется как отрезок прямой), либо сферу в пространстве (расстояние опре-