Фрактальные размерности. Для полного графика В = 2 - Н (см. [457]). Когда множество уровня непусто, В = 1 — Н. Этот результат приводится в [412] (усиливая теорему 5 (с. 146) [248]).

Критический переход при Н = 1. Дробный ряд Фурье-Бро-уна-Винера с независимыми гауссовыми коэффициентами, пропорциональными гГ1ъ-я\ сходится в непрерывную сумму при всех Н > 0. Когда значение параметра Н пересекает единицу, сумма становится дифференцируемой. Что касается дробного броуновского процесса, то он определен лишь до Н = 1. Различие в диапазоне допустимых значений параметра Н может служить подтверждением того, что эти два процесса существенно отличаются друг от друга. Это различие также предполагает, что физические критические переходные феномены можно моделировать с помощью броуновских функций из прямой в прямую, но никак не с помощью броуновских функций из окружности в прямую.

7. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ ИЗ ПРЯМОЙ ИЛИ ОКРУЖНОСТИ В ПРОСТРАНСТВО

В случае функции из окружности в пространство с Н < 1 размерность следа равна тт(Е, 1/Н). Этот вывод является частью теоремы 1 (с. 143) [248].

8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую В {£) в дробную функцию Вн (£) проще всего записать

39 о Математическое приложение и дополнения

491

Этот интеграл расходится, однако приращения вида Вн (*) — Вн (0) являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее

ядра (£ — з)н~ ^2 — классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана-Лиуеилля порядка Н + г/2.

Эвристика. Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или / дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на 1/п, а обычное интегрирование непериодической функции эквивалентно умножению ее преобразования Фурье (если оно определено) на 1//. Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень (1//)я+/2, может быть с полным правом названа дробным интегро-дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид /_0, спектр функции Вн (£) можно записать в виде (1//)2(я+/г) = = /~2Я_1 (как и было заявлено).