Фрактальные размерности. Для графика В = 2 — Н. Для нульмножества и других множеств уровня В = 1 — Н. См. [3].

6. ДРОБНАЯ БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ОКРУЖНОСТИ ИЛИ ТОРА В ПРЯМУЮ

Дробные броуновские функции из окружности в прямую гораздо более изощрены, чем функции, описанные в подразделе 4. Простейшая из них представляет собой сумму дробного ряда Фурье-Броуна- Винера, который, по определению, имеет независимые гауссовы коэффициенты и полностью случайные фазы, причем модули коэффициентов пропорциональны п~я~/2. Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами.

Предостережение. Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд В*н (£) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции Вн (£) и повторением получить периодическую функцию.

К сожалению, полученная таким образом периодическая функция и сумма ряда Фурье с коэффициентами п~н~ /2 суть разные случайные функции. В частности, ряд Фурье стационарен, в то время как многократно повторенная функция Вн (£) с исключенным трендом — нет. Например, на некотором малом интервале по обе стороны от £ = = 0 многократно повторенный мост с исключенным трендом объединяет два непоследовательных подучастка функции Вн (£)■ Ограничения, имеющегося в определении моста, вполне достаточно для того, чтобы объединенный участок оказался непрерывным, но совершенно не достаточно для того, чтобы сделать его стационарным. Такой участок, к примеру, совсем не тождествен по своему распределению некоторому

490

Разное о XI

малому участку, составленному из последовательных подучастков по обе стороны от точки I = тт.

Замечания по моделированию. Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем: а) вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую, б) отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода 2тг (скажем, 0 < Ь < £*) и в) прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При Н —> 1 значение £* должно стремиться к нулю.