Корреляция и спектр. Очевидно, что ([Вн (£+Д*)-Дя (<)]2) = = |Д£|2Я. Спектральная плотность функции Вн (£) пропорциональна /_2Я_1. Показатель не является целым числом — в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций Вн (£) термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум. Этот шум определяется как последовательность приращений функции Вн (£) на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

Долгосрочные корреляции. Персистентность и антиперси-стентность. Положим Вн (0) = 0 и определим предыдущее приращение как — Вн (—£), а последующее приращение как Вн (£). Имеем

Разделив результат на (Вн (£)2) = £2Я, получим корреляцию, которая оказывается независимой от £: она равна 22Я_1 — 1. В классическом случае Н = У2 корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При Н > У2 корреляция положительна, выражает персистентность и при Н = 1 возрастает до единицы. При Н < г/2 корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность и при Н = 0 уменьшается до —1/2.

То, что эта корреляция не зависит от I и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции Вн (£)•

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и/или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

39 о Математическое приложение и дополнения

489

Практическое следствие для моделирования. При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от £ = 0 до £ = Г выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения Г; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз. Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от Т.

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции Вн (£) есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)