Практическое следствие, касающееся моделирования. Моделирование функции В (£) неизбежно производится на конечном временном промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал [0, 27г[, то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.

Литература. Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями. Функции Во (£) =

= \\вв (Ь)-Вв (*+7г)] и5£ (*) = У2[ВВ (ь)+Вв (г+тг)] представляют собой суммы гармонических составляющих мостовой функции В в (£) с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума В' (£), построенного на окружности:

О 7г

в0 0) = I в' о - в) йв -1 в' (г - в) ^.

-7г 0

Броуновская функция из прямой в окружность. Возьмем броуновскую функцию В (£), отбросим ее целую часть и умножим дробный остаток на 27г. Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь в основном для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.

488

Разное о XI

5. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Для определения этой функции (обозначим ее Вн (£)) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя Н с г/2 на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству 0 < Н < 1. Функции с Н ф г/2 оказываются вполне дробными.

Все функции Вн (£) непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].