Б) Вещественную (скалярную) величину X можно заменить точкой в евклидовом пространстве Rs (где Е > 1) либо точкой на окружности или на сфере.

B) Параметру Н можно присвоить иное, нежели У2, значение. Гауссово распределение erf допускает любое значение параметра Н из интервала 0 < Н < 1.

Г) Гауссово распределение erf можно заменить одним из негауссовых распределений, рассматриваемых в разделе УСТОЙЧИВЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ ЛЕВИ.

Кроме того, функцию В (t) можно обобщить через ее представление в виде белого шума. Эта процедура дает существенно иные результаты.

3. ИСКЛЮЧЕНИЕ ТРЕНДА

Разброс броуновской функции из прямой в прямую В (t) в интервале от t = 0 до t = 2тг можно разбить на две части: а) тренд, определяемый выражением В* (t) = В (0) + (t/2n)[B (2тт) - В (0)], и б) осциллирующий остаток В в (t). В случае броуновской функции В (t) эти члены оказываются статистически независимыми.

Тренд. График тренда В* (t) представляет собой прямую, угловой коэффициент наклона которой является случайной гауссовой величиной.

Броуновский мост. «Лишенный тренда» осциллирующий член В в (t) тождествен по своему распределению броуновскому мосту, определяемому как броуновская функция из прямой в прямую, ограниченная условием В (2тг) = В (0).

Ошибочное исключение тренда. Сталкиваясь с выборками неизвестного происхождения, многие статистики-практики, работающие в экономике, метеорологии и других подобных областях, спешат разбить их на тренд и осцилляцию (и еще добавочные периодические члены). Тем самым они имплицитно допускают, что получаемые при этом слагаемые можно приписать различным порождающим механизмам, и что эти слагаемые статистически независимы.

Последнее допущение можно признать обоснованным только в том случае, если выборка порождена броуновской функцией В (t).

39 о Математическое приложение и дополнения

487

4. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ОКРУЖНОСТИ В ПРЯМУЮ

Броуновский мост с петлями. Возьмем периодическую функцию от I, которая на временном промежутке 0 < £ ^ 27г совпадает с броуновским мостом В в (£), и выберем случайным образом (равномерно) приращение Д£ на интервале [0, 2тт[. Функция В в (£ + Д£) статистически стационарна (см. раздел СТАЦИОНАРНОСТЬ) и может быть представлена как случайный ряд Фурье-Броуна-Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны п-1. Иными словами, дискретный спектр пропорционален п~2 (т. е. /~2), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих /, пропорциональна