О размерности Е см. в [610, 611].

О моделировании с помощью БПФ см. [582].

11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНЫХ ГАУССОВЫХ ШУМОВ

Зададим дисперсию G(x), отличную от G (х) = х, составим сум-

т

му G {Вн (t) — Вн (t — 1)} и интерполируем ее линейно для нецело-

t=i

численных Т. Результат (который мы обозначим через Bq (Т) — Bq (0)) асимптотически масштабно-инвариантен, если существует некоторая функция А(Т), такая, что предел Итт^оо А (Т) {Bq (hT) — Bq (0)} невырожден при любом h £ (0, 1). Мюррей Розенблатт рассмотрел случай G (х) = х2 — 1. В статье [551] показано, что эта задача тесно связана с эрмитовым рангом дисперсии G, определяемом как порядок младшего члена в разложении G в ряд Эрмита. О более новых находках в этом направлении можно узнать из работ [554] и [110].

КРИВЫЕ ПЕАНО

Дополнительные материалы по этой теме (а также по нецелочисленным основаниям систем счисления) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ УСЕЧЕНИИ

Связь гиперболического распределения с масштабной инвариантностью основывается на следующем свойстве (присущем только гиперболическому распределению): распределение нормированной усеченной случайной величины «U/uq, если U/uo > 1» не зависит от щ.

494

Разное о XI

Доказательство. Пусть имеется некоторое основное распределение Р(и), причем нормированная усеченная с. в. W = U/щ имеет обычное условное распределение Р (wuq)/Р (uq). Нам нужно, чтобы это условное распределение было одинаковым для щ = N и ио = = h". Запишем v' = In Л/ и v" = Inh" и рассмотрим функцию R = = 1пР(и) как функцию от v = ln/i. Для получения искомого тождества P(uh')/P(h') = P(uh")/P(h") необходимо, чтобы при любом выборе значений v, v' и v" выполнялось равенство R (V + v) — R (V) = = R (v" + v) — R (v"). А для этого функция R должна быть линейной функцией от v.

МУЗЫКА И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Музыка обладает по меньшей мере двумя достойными упоминания скейлинговыми свойствами.

Темперированные музыкальные гаммы и их связь с частотным спектром модифицированной функции Вейерштрасса. Из