Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества называются в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.

Аллометрия. В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в г раз диаметр его ствола изменяется в г3/2 раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.

БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Вследствие большого разнообразия всевозможных броуновских множеств, возникает необходимость по возможности в строгой (а иногда и весьма громоздкой) терминологии.

1. БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Баше-лье или функциейБашелье-Винера-Леей. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения. А) Временная переменная £ есть вещественное число. Б) Пространственная переменная х есть вещественное число. В) Параметр Н равен 1/2. Г) Вероятность Рг(Х < х) задается функцией ошибок егг(ж), которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с (X) = 0 и (X2) = 1.

39 о Математическое приложение и дополнения

485

Определение. Броуновская функция из прямой в прямую В (г.) есть случайная функция, такая, что при любых I и А£ верно следующее:

Рг([В (£ + Д£) — В 0)]/|Д£|я < х) = егЦх)

Белый гауссов шум. Функция В ({) непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная В' (£) не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию В (£) как интеграл В' (£).

Самоаффинность. Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить В (0) = 0, то распределение вероятностей нормированной функции 1^2В(Ы) не зависит от £. Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.