Второй критерий стационарности: исправление ошибки, присутствующей на рисунке 470. Необходимость введения второго критерия стационарности возникла благодаря счастливой случайности. Кри-

37 о Колебания цен и масштабная инвариантность в экономике

469

вые а+ и 6+ (равно как и а- и Ь~) на рисунке смещены относительно друг друга по горизонтали. Поскольку смещение в дважды логарифмических координатах соответствует в естественных координатах изменению масштаба, это расхождение привело меня в [341] к тому, что я почти согласился с мнением экономистов, полагавших, что в 1900 г. распределение ценовых изменений было иным, нежели в 1950. Я считал тогда, что распределение сохранило свою форму, но его масштаб изменился (уменьшился, если быть точным).

Однако, как оказалось, в этой моей уступке общественному мнению не было никакой необходимости. Дело в том, что данные, по которым строились кривые а+ и аГ, были неверно прочитаны (см. [368]). После внесения необходимых поправок кривые а+ и а~ оказались практически тождественны кривым 6+ и Ь~.

Не буду отрицать: на первый взгляд, приведенные на рисунке данные создают впечатление значительной нестационарности. В действительности это не так, потому что упомянутое первое впечатление будет, скорее всего, сформировано на основе убеждения, что описываемый процесс имеет гауссову природу. Я предлагаю альтернативу нестационарному гауссову процессу — и этой альтернативой является процесс устойчивый и стационарный, но совершенно не гауссов.

ВЫВОД

Насколько мне известно, ни одна экономическая модель еще не давала прогнозов, сравнимых по успешности с моими.

Рис. 470. ДАННЫЕ, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ В ЭКОНОМИКЕ, ОРИГИНАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ

К этой старой иллюстрации (которая воспроизводится здесь по [341]) я испытываю особую привязанность (несколько позднее я так же привязался к картинке, которая помещена в настоящем эссе на рис. 379). Здесь на одном графике показаны дважды логарифмические кривые положительных и отрицательных хвостов (больших отклонений) зарегистрированных изменений логарифмов цен на хлопок, а также функция совокупной плотности симметричного устойчивого распределения с показателем £> = 1,7 (в действительности этот показатель представляет собой несколько завышенное значение размерности И). По ординате откладывается относительная частота случаев, когда изменение одной из определяемых ниже величин X превышало изменение абсциссы.