468

Разное о XI

маю идею бесконечной дисперсии, потому что она позволяет сохранить масштабную инвариантность.

УСТОЙЧИВАЯ МОДЕЛЬ ЛЕВИ [341]

В работе [341] я сочетаю скейлинговый принцип с вполне приемлемой идеей, суть которой заключается в том, что последовательные изменения цен независимы с нулевым ожиданием; кроме того, я допускаю здесь, что дисперсия ценовых изменений бесконечна. Из краткого математического рассуждения вытекает предположение о том, что изменения цен подчиняются устойчивому распределению Леви, о котором говорится в главах 32, 33 и 39.

Это предположение оказывается справедливым в весьма широком диапазоне. В первых испытаниях [341, 352] мы применяли его ко многим товарным ценам, к некоторым процентным ставкам, а также к курсам кое-каких ценных бумаг XIX века. Позже Фама [136] подтвердил его применимость к колебаниям курсов современных ценных бумаг, а Ролл [498] — к изменениям прочих процентных ставок. Здесь же нам придется удовлетвориться одной-единственной иллюстрацией (рис. 470).

ПРОГНОЗИРУЮЩАЯ СИЛА МОДЕЛИ

Прогнозирующая сила скейлингового принципа изменения цен базируется на одном важном открытии, которое описано ниже. Для начала построим распределение среднесуточных изменений цен за пятилетний период со средней изменчивостью цен. Экстраполируя теперь это распределение на среднемесячные изменения цен, мы обнаружим, что его график проходит как раз через точки, соответствующие всевозможным экономическим спадам, депрессии и т. д. Этот график учитывает все наиболее значительные события, произошедшие за почти столетний период в истории весьма непостоянного рынка товаров первой необходимости.

В частности (см. рис. 470), процесс, управляющий изменением цен на хлопок, остается приблизительно стационарным на протяжении относительно долгого рассматриваемого периода. Это поразительное открытие лучше всего представить в два этапа.

Первый критерий стационарности. Из рис. 470 видно, что и аналитическая форма процесса изменения цен, и значение £> остаются неизменными. Бесспорно, стоимость денег и прочие подобные вещи претерпели значительные изменения, однако общие тенденции пренебрежимо малы по сравнению с флуктуациями, с которыми мы здесь сталкиваемся.