Наблюдаемое отклонение в поведении выборочной дисперсии изменения цен. «Типичные значения», используемые для выведения итоговых данных, представляют собой наименее изощренный уровень описательной статистики, однако когда дело доходит до описания изменений цен, обычные итоговые отчеты оказываются необычайно запутанными и абсолютно ненадежными. В самом деле, используя выборочное среднее для измерения параметра сдвига, а выборочное среднеквадратическое значение — для измерения дисперсии, мы обычно руководствуемся убеждением, что эти величины представляют собой «устойчивые» характеристики, которые в конце концов сойдутся к неким общим для всей совокупности значениям. Однако из рисунка, помещен-

37 о Колебания цен и масштабная инвариантность в экономике 467

но го в моей статье [352], видно, что поведение упомянутых величин в случае цен оказывается чрезвычайно уклончивым:

A) Значения среднего квадрата, соответствующие различным длинным подвыборкам, часто имеют различный порядок величины.

Б) При увеличении размера выборки средний квадрат теряет устойчивость. Он начинает беспорядочно метаться то вверх, то вниз, при этом демонстрируя, однако, общую тенденцию к увеличению.

B) Основной вклад в величину среднего квадрата осуществляется, как правило, всего лишь несколькими квадратами. Если удалить эти так называемые резко отклоняющиеся значения, то оценка дисперсии часто изменяется на порядок.

Гипотеза о нестационарности. Эти свойства, взятые в совокупности — как, впрочем, и любое из них в отдельности, — использовались обычно для демонстрации всем интересующимся нестационарности процесса. Мое предварительное контрпредложение заключалось в том, что сам процесс в действительности стационарен, однако при этом чрезвычайно велик неизвестный теоретический второй момент. Если допустить, что этот момент велик, но конечен, то выборочные моменты сходятся согласно закону больших чисел, однако сходятся чрезвычайно медленно, и значение предела этой сходимости не имеет практически никакой реальной ценности.

Принцип бесконечной дисперсии. Мое следующее контрпредложение заключалось в объявлении среднего квадрата совокупности бесконечным. Те читатели, кто продирался сквозь настоящее эссе с самого начала, я уверен, давно свыклись с возможностью выбора между «очень большим» и «бесконечным», однако те, кто открыл книгу именно на этом месте, возможно, пребывают в ином расположении духа, — в ином расположении духа пребывали, как выяснилось, и мои читатели в 1962 г. Всякому, кто получил обычное статистическое образование, бесконечная дисперсия представляется в лучшем случае чем-то жутковатым, а в худшем — эксцентричным. В действительности же, если «бесконечное» и отличается чем-то от «очень большого», то, судя по выборочным моментам, эту разницу заметить невозможно. Кроме того, из бесконечной дисперсии величины X никоим образом не следует, что сама величина X не может быть конечной, а ее вероятность — равной 1. Например, переменная плотности Коши 1/тт (1 +ж2) почти наверное конечна, однако имеет бесконечную дисперсию и бесконечное математическое ожидание. Таким образом, вопрос о выборе между переменными с очень большой и бесконечной дисперсией не следует решать a priori; решение должно зависеть исключительно от того, какой из вариантов окажется более удобен в данном конкретном случае. Что до меня, то я прини-