36 о Фрактальная логика в статистической решеточной физике 455

Предыдущие абзацы были написаны исключительно с целью выражения известных результатов в рамках фрактальной терминологии — мне думается, такое выражение поможет читателю яснее представить себе их значение. Тем не менее, следует еще раз подчеркнуть: называя величину И размерностью, мы тем самым допускаем, что многократно учащенные СББС слабо сходятся к некому семейству фракталов, размерность которых совпадает с эмпирически наблюдаемым значением И. Физики на этот счет не испытывают никаких сомнений, однако привередливые математики настаивают на том, что на данный момент такое утверждение является не более чем предположением. В следующем разделе мы вкратце обрисуем направление, в котором может пойти доказательство упомянутого предположения.

Заметьте, мы вовсе не ожидаем, что фрактальный предел при учащении решетки окажется лишен самопересечений, так как точки, в которых СББС «погружается» в свое отдаленное прошлое, становятся двойными точками. В самом деле, размерность множества двойных точек в этом случае положительна, (4 — Е)/3 > 0. Мы, однако, можем ожидать, что тройных точек не будет, поскольку размерность их множества равна птах (0, 2 — Е) = 0.

Последовательности, сильно сходящиеся к фракталам, несравненно легче поддаются изучению (как аналитически, так и с точки зрения вычислений), нежели СББС на частых решетках. Следовательно, удобно было бы — если можно так выразиться — «оттенить» СББС некоторой последовательностью, благословенной обыкновенно (т. е. сильно) сходящимися приближениями. Этой цели можно достичь, используя предложенные мною «сквиг-кривые» (см. главу 24). Поразительно, но размерность наименее изощренных и наиболее изотропных сквиг-кривых оказывается чрезвычайно близка к значению И =4/3, характерному для плоских СББС. Еще одна «тень» — броуновское движение без самопересечений, определяемое на рис. 341 как граница оболочки ограниченного броуновского следа. Вспомним, что размерность этой границы также составляет Г) = 4/3. Едва ли это просто совпадение — скорее, намек на возможность углубить наши знания о структуре плоскости.