454

Разное о XI

моделирования. Ниже приводится наиболее интересный для нас результат, полученный Ч. Домбом и описанный в [15].

После п ^> 1 этапов построения среднеквадратическое смещение Яп имеет порядок, равный величине п, возведенной в степень, которую мы обозначим через 1/Е.

Исходя из этого утверждения, можно с большой долей уверенности заключить, что внутри окружности или сферы радиуса К с центром в некоторой точке случайного блуждания содержится приблизительно Ив других точек этого случайного блуждания. Хороший повод удостовериться, является ли величина Е фрактальной размерностью.

В случае прямой Е (тривиально) равно единице. Согласно теоретическим рассуждениям Флори и результатам компьютерного моделирования для £ = 2 и £ = 3, В = (Е + 2)/Ъ (подробнее об этом можно прочесть в замечательном обзоре [99] (раздел 1.3), правда, вместо О там используется обозначение Фрактальная размерность Ев = 2 броуновского движения превышает это значение в случаях Е = 2 и Е = 3, однако совпадает с ним при Е = 4.

Согласно предельному доказательству Кестена, Е —> 2 только при условии, что Е —> 2. Однако предположение о том, что Е = 2 при любом Е ^ 4, подкрепляется изящной физической аргументацией, а также одним простым фрактальным доводом, который звучит следующим образом: при Е ^ 4 коразмерность броуновского движения равна двум, следовательно, коразмерность множества его двойных точек равна нулю, — а это означает, что броуновское движение не имеет двойных точек. Таким образом, без особых хлопот мы приходим к искомому выводу: броуновское движение нигде не пересекает само себя.

Значения Е, как оказалось, весьма чувствительны к исходным допущениям. Виндвер обнаружил, что если полимер в 3-пространстве состоит из двух различных типов атомов (т. е. блуждание не ограничено решеткой), то Е = 2/1,29, а это, по его мнению, существенно меньше значения, полученного Домбом (Е = 1,67 ~ 2/1,2). В случае полимера, растворенного в каком-либо реакционно-способном растворителе, пространство вложения оказывается еще менее инертным; величина Е, в частности, становится в этом случае зависимой от протекающей реакции. Точка Э определяется как точка, в которой Е принимает свое броуновское значение Ев = 2. В хороших растворителях Е < 2, причем чем выше качество растворителя, тем меньше Е; совершенный растворитель, в частности, дает Е = 2/1,57 при Е = = 2 и Е = 2/1,37 при Е = 3. Даже с самым плохим растворителем величина Е в 2-пространстве никогда не достигает значения Е = 2, однако в 3-пространстве плохой растворитель с легкостью обеспечивает Е > 2. В действие вступают коагуляция и фазовое разнесение, и неразветвленная цепь больше не может считаться удовлетворительной моделью.