Прямая, состоящая из равномерно расположенных отрицательных спинов, остается после проведения описанной процедуры инвариантной. Проследим эффекты, возникающие при включении в нее положительной «примеси» в точке с координатой п = 0 в момент времени £ = 0. Все спины 5(1, п) отрицательны, кроме спинов, расположенных в точ-

36 о Фрактальная логика в статистической решеточной физике

453

ках п = — 1 и тг = +1. Последующие конфигурации выглядят таким вот образом:

------ + + -- -- --

-----+ + + + -- -- -

---- + + -- + + -- --

---+- + - + - + -- ----+ + + + + + + + -- -

-- + + -- -- -- + + --

- + - + -- -- - + - + -- + + + + -- -- + + + + -

+ -- - + -- - + -- - + + + -- + + -- + + -- + +

Многие читатели, несомненно, узнают в этом построении треугольник Паскаля, в котором места расположения нечетных биномиальных коэффициентов отмечены знаками +. В полном треугольнике Паскаля £-я строка дает значения коэффициентов в разложении бинома (а + Ъ)1.

Всякий, кто прочел главу 14, сразу увидит, что если соединить каждый плюс с соседними плюсами, то получится граф, родство которого с салфеткой Серпинского просто бросается в глаза (см. [499]). Более того, при уменьшении шага решетки этот граф сходится именно к салфетке Серпинского.

СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ И ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Обратимся теперь к одной важной конкретной задаче. При случайном блуждании без самопересечений (СББС) точка движется вперед, не обращая никакого внимания на свои предыдущие положения; исключением является лишь запрет проходить через одно место более одного раза и забредать туда, откуда невозможно найти выход. Все допустимые направления равновероятны.

На прямой такое движение не представляет никаких проблем: оно неизбежно распространяется в обоих направлениях и никогда не пересекает само себя.

Что касается плоского и пространственного случаев, то здесь возникает интересная и весьма сложная проблема — настолько сложная, что до сих пор ни одна аналитическая попытка найти ее решение не увенчалась успехом. Однако практическая значимость этой проблемы при изучении макромолекул (полимеров) настолько велика, что она стала объектом тщательных эвристических исследований и детального компьютерного