Странно, что уменьшение лакунарности (через уменьшение параметра а) достигается посредством растягивания генератора. Скорее, следовало бы ожидать, что все более растягивающийся генератор приведет

35 о Обобщенные тремы и управление текстурой

445

к увеличению размеров предасимптотической области. Этот факт еще раз подчеркивает, что поведение величины (М (Д)) (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты М (К), однако рассматривать их здесь мы уже не будем.

УПРАВЛЕНИЕ ЛАКУНАРНОСТЬЮ В ПЫЛЯХ, СУБОРДИНИРОВАННЫХ БРОУНОВСКИМ СЛЕДАМ

Раз уж мы управляем лакунарностью линейной пыли, мы вполне можем отобразить результат на пространство с помощью процесса субординации, описанного в главе 32. Имея дело с плоскостью и используя в качестве субординанда броуновскую сеть (см. рис. 341), можно построить пыль, которая произвольно близка к тому, чтобы выглядеть как сеть, и характеризуется бесконечной степенью ветвления. Начнем с плоскости и положим, что субординанд представляет собой дробную броуновскую сеть с Н > 1/2\ пустоты такой сети имеют меньший размер, чем пустоты сети с Н = /2. Если при этом размерность субординатора удовлетворяет неравенству Е/Н < Е = 2, а лакунарность субординатора низка, то можно добиться того, что субординат будет произвольно близок к тому, чтобы казаться заполняющим плоскость. В случае Е = 3 иЯ = Уз субординанд является заполняющей пространство кривой. Если О/Н < Е, а лакунарность субординатора низка, то можно добиться того, что субординатная пыль будет заполнять пространство; при этом степень ее лакунарности может быть сколько угодно низкой, независимо от величины Е.

Рис. 446. ВЛИЯНИЕ ТРЕМА-ГЕНЕРАТОРА НА ЛАКУНАРНОСТЬ ТРЕМА-ФРАКТАЛА

Эти иллюстрации призваны дать читателю представление о степени влияния формы трема-генератора на лакунарность фрактала. Оба трема-генератора имеют форму ромба, однако первый ромб представляет собой почти квадрат, а второй больше похож на тонкую иглу. Внутри белых областей можно разглядеть отдельные маленькие черные ромбы.