444

Случайные тремы. Текстура о X

Случай, когда критическая размерность £>крит произвольно близка к 1. Рассуждая эвристически, можно предположить, что при £^3и почти иглообразных тремах величина критической размерности -Окрит будет произвольно близка к единице.

УПРАВЛЕНИЕ ЛАКУНАРНОСТЬЮ С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕНЕНИЯ РАЗМЕРОВ ТРЕМ В ОБОБЩЕННЫХ ТРЕМА-ФРАКТАЛАХ

В одном из разделов главы 34 показано, как можно управлять лакунарностью в случае стратифицированных длин трем. А сейчас давайте занесем на скрижали (без особых, правда, подробностей) следующее замечание: той же цели можно достичь и посредством изменения трема-генератора. Мы воспользуемся той мерой лакунарности (из упомянутых в главе 34), которая определяется через величину внешнего порога О.

Вообще-то мы предпримем предварительно еще один шаг и введем двойной порог, ограничив линейный масштаб трем следующими величинами: е > 0 и Л < сю.

Нетрудно убедиться в том, что случайным образом выбранная точка по-прежнему принадлежит с вероятностью (е/А)Е~г> получающемуся в результате усеченному трема-фракталу. Затем распределим по нашему множеству некоторую массу с плотностью ев~Е. Префактор /3 = = аО,в~Е из главы 34 окажется при этом равным АВ~Е. Если переход к е —> 0 выполнить должным образом, то выражение остается справедливым и для е = 0. Следовательно, £2 = Ааг^Е~в\

(При альтернативном определении порога £2 его величина выражается следующим образом: О = Ла1/^--0) (Б/Е)1/^-0^)

Остается вычислить величину а. Как выясняется, она зависит от общей формы трема-генератора и достигает наибольших значений, когда генератор представляет собой интервал (диск, шар). Она может быть и произвольно малой; соответственно малым оказывается при этом и внешний порог £2.

Если трема заключена между двумя концентрическими сферами с радиусами а > 1 и /3 > 1, то результат получается очень простой: £2 ос 1/а.

Таким образом, вполне возможно добиться того, что (М (К)), а следовательно, и ковариантность распределения масс произвольно быстро перейдет к такому поведению, какое наблюдается в асимптотической области, т. е. плотности в двух точках, расстояние между которыми превышает £2, станут эффективно независимы одна от другой.