Неслучайный трема-генератор. Такой генератор представляет собой открытое множество с некоторым, произвольно выбранным внутри него, центром, причем длина (площадь, объем) этого множества равна 2 (ж или 47г/3, соответственно). А тремы — это перемасштабированные версии описанного генератора. Положения и размеры трем случайны, а распределение вероятностей совпадает с аналогичным распределением в главах 31 и 33.

В случае Е = 1, например, количество трем, длина которых превышает г, а центр расположен внутри интервала длины Д£, по-прежнему является пуассоновской случайной величиной с ожиданием (Е — В*)АЬ/т. Кроме того, как показано в [132], остается справедливой и хорошо известная нам формула для определения размерности И = = тах(_0*, 0) — правда, с некоторыми нестрогими ограничивающими допущениями относительно формы трема-генератора. (Отдельного рассмотрения заслуживает вопрос о причине возникновения этих ограничивающих допущений — присущи ли они трема-фракталам изначально, или мы обязаны ими методу доказательства.)

Ограниченность генератора. Поскольку теоретической целью построения с использованием трем является создание глобальных структур из локальных взаимодействий, разумно будет ввести допущение о локальности (т. е. ограниченности) трем. Если же тремы не ограничивать, то они могут привести к весьма неожиданным сюрпризам. На рис. 398 представлено дальнейшее обобщение модели трем.

Определение пустот. Пустой промежуток теперь представляет собой не объединение трем, но объединение наибольших открытых компонентов трем.

Неслучайная изотропия. Для обеспечения изотропности генератора мы должны иметь возможность выбирать точку отсчета таким образом, чтобы генератор представлял собой множество точек, удовлетворяющих следующему условию: расстояния между этими точками и

442

Случайные тремы. Текстура о X

точкой отсчета должны принадлежать некоторому множеству на положительной вещественной оси (обычно это набор заданных интервалов). Изотропный случай является самым простым и наиболее хорошо изученным.

Однако неизотропия здесь также не исключается. В частности, фрактальную пыль можно сделать асимметричной относительно прошлого и будущего.