Процесс, используемый в этой главе для изменения сукколяции в ковре Серпинского и лакунарности в канторовой пыли и ковре Серпин-ского, предполагает возврат к описанию неслучайных и ранних случайных фракталов с точки зрения стратификации — весьма эффективный, но искусственный метод. В частности, ограничив коэффициенты подобия видом гк, мы обеспечиваем требуемую лакунарность ценой сужения диапазона самоподобия. При большом N (например, N = 1022 — см. пояснение к рис. 141) и соответственно малом г стратифицированность весьма значительна и хорошо заметна.

Такой способ управления сукколяцией и лакунарностью, очевидно, нельзя считать приемлемым. Поэтому я рад, что мне удалось добиться того же и даже большего с помощью простого обобщения метода трем, которое заключается в замене интервалов, кругов и шаров более общими фигурами, которые мы обсудим в следующей главе.

34 о Текстура

439

НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Как показано в соответствующем разделе главы 39, лакунарность фрактала может быть исчезающе малой.

Рис. 439. ЛАКУНАРНОСТЬ КОВРОВ

Рассмотрим ковры Серпинского, построенные с помощью следующих генераторов:

Оба генератора удовлетворяют параметрам Ъ = 1/г = 7 и 7Y = 40, отсюда D ~ 1,8957. Правда, с первого взгляда не совсем очевидно, откуда взялось N = 40, — и тем не менее, так оно и есть, в чем можно убедиться, внимательно рассмотрев следующие этапы построения, приведенные на верхнем рисунке с семикратным увеличением.

Равенство размерностей D этих двух ковров также не бросается в глаза. Впечатление усугубляется еще и тем, что левый ковер, судя по его виду, содержит гораздо большие пустоты, т. е. является более лакунарным (от лат. lacuna «пустое место, пробел»). В тексте главы рассматривается несколько различных методов, которые помогут вам избавиться от этого ложного впечатления.

Размерность D ~ 1, 8957 замечательно близка к размерности бер-нуллиевой перколяции (см. конец главы 13), однако это обстоятельство не должно вводить нас в заблуждение: топологически эти два случая очень различаются. ■

35 о ОБОБЩЕННЫЕ ТРЕМЫ И УПРАВЛЕНИЕ

ТЕКСТУРОЙ

Сообразуясь с логикой нашего эссе, в главах 31-33 мы ввели трема-фракталы с помощью простейших примеров, в основе которых лежат интервалы, круги и шары. Полученные результаты радуют взор своим разнообразием, которое, однако, вряд ли можно сравнить с богатствами, ожидающими нас среди трем более общей формы.