Немедленно возникает побуждение записать

(М(Я))=аЯ° приД<0 и (М (Д)) = /ЗЯЕ при Д » П

и доказать, что переход происходит при аЯ° = (ЗЯЕ, т. е. при £1Е~В' = = а/[3. Следовательно,

(М (Д)} = аП°-ЕЯЕ при Д » П.

В малом варианте этого же подхода точка выбирается там, где две формулы имеют равные производные, следовательно, £1*Е~В' = = Иа/Е/З. При увеличении лакунарности (т.е. а) и фиксированных значениях [3 и Е возрастают как Г2, так и Л*. Оба варианта являются очередными кандидатами, претендующими на место определителя и меры лакунарности.

438

Случайные тремы. Текстура о X

РАСШИРЕННОЕ ПОНИМАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ПРИ

СДВИГАХ

Тот факт, что прямая способна при продольном смещении отображаться на самое себя, выражается фразой: «Прямая инвариантна при сдвигах». В главе же 22 заостряется внимание на том, что канторовы пыли обладают одним в высшей степени неприятным свойством: они не инвариантны при сдвигах. Например, оригинальная троичная пыль С и результат ее смещения на 1/3 даже не пересекаются. А вот пыль С и результат ее смещения на 2/3 пересекаются, причем пересечение содержит половину точек множества С.

Если же мы будем сдвигать максимально лакунарные канторовы пыли с N ^> 1, то сколько-нибудь значительное перекрытие можно будет получить только при величине смещения, близкой либо к 1, либо к 0. В случае минимально лакунарных пылей, напротив, допустимая величина смещения может представлять собой (приблизительно) любое число, кратное 1/ЛГ.

Иными словами, для успешного применения к канторовой пыли понятия инвариантности при сдвигах следует весьма значительно ослабить требования этой инвариантности, однако при низкой лакунарности пыли можно обойтись гораздо меньшим ослаблением.

В конце главы 22 мы пришли к выводу, что применить к фракталам инвариантность при сдвигах и космологический принцип возможно, если фракталы сделать случайными, а понятие инвариантности переформулировать к «условному» виду. Эта переформулировка, собственно, и является главной причиной введения случайных фракталов.

СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ И НЕСТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ ТЕКСТУРЫ