Подведем итоги: мы вышли за рамки соотношения «масса пропорциональна Кву> и обратили отдельное внимание на префактор пропорциональности массы величине Ив. Отметим также, что понятие лакунарности не имеет ничего общего с топологией и касается лишь различий во фракталах при одинаковом значении £>; возможность ее использования для сравнения фракталов с разными размерностями остается пока неисследованной.

ЛАКУНАРНОСТЬ КАК ЭФФЕКТ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО МАССОВОГО ПРЕФАКТОРА

Альтернативный подход к лакунарности связан с распределением массы в интервале [£, £ + 2Д] при условии, что средняя точка 1 + Д интервала принадлежит пыли Т>. Из этого условия следует, что интервал [£, £ + 2Д] пересекает V, однако обратное утверждение не обязательно истинно: если интервал [£, £ + 2Д] пересекает Т>, то его средняя точка 1 + Д не обязательно принадлежит Т>. При таком, более стро-

34 о Текстура

437

гом, условии ярче выраженной становится тенденция к устранению тех случаев, где масса оказывается значительно ниже среднего; в результате увеличивается ожидаемая масса. Иными словами, мы заменяем \¥ новой величиной Цг*, при этом (\У*) > (}¥). Значение отношения (\У*)/(\У) велико для очень лакунарных множеств Т> и мало для менее лакунарных множеств. Итак, перед нами еще один альтернативный кандидат на роль определителя и меры лакунарности: (\¥*)/(\¥).

ПЕРЕХОД ПРИ ПОРОГЕ И ЛАКУНАРНОСТЬ

Рассматривавшиеся до сих пор подходы к описанию лакунарности являются внутренними, т. е. не подразумевают наличия какой бы то ни было внешней точки сравнения. Нам, однако, известно, что многие физические системы характеризуются конечным внешним порогом П. Такие системы допускают еще один подход к лакунарности — не такой общий, как два предыдущих, но гораздо более удобный.

В самом деле, заменим наше фрактальное множество Т>, в котором = оо, другим фрактальным множеством Т>^, которое «похоже на Т>» при масштабах, меньших Г2, и почти однородно при масштабах, больших П. Примером порога П может послужить, например, радиус перехода, при достижении которого размерность распределения галактик изменяется с Е < Е = 3 на Е = 3. До сих пор этому переходу дозволялось существовать без точного определения, однако дальше так продолжаться не может. Идея заключается в том, что наблюдателю, расположившемуся на точке из множества Т>, порог представляется размером наименьшего элемента, который необходимо исследовать, дабы получить достаточно полное представление о целом. Обитателю множества Т>ц должно казаться, что менее лакунарный мир становится однородным очень быстро, более же лакунарный мир — очень медленно.