Ввиду отсутствия активных и громогласных поборников истинности равенства = оо, в теории турбулентности этот вопрос стоит не так остро, как при изучении распределения галактик, поэтому мне представляется более удобным рассматривать его именно в последнем контексте.

ЛАКУНАРНОСТЬ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Понятие лакунарности (в отличие от понятия сукколяции) имеет смысл и на прямой, а значит, подтверждение приведенных в предыдущих

34 о Текстура

433

разделах положений проще всего получить на примере линейной пыли. Из главы 8 нам известно, что размерность I? канторовой пыли С на интервале [0, 1] может достигать любого значения между 0 и 1 (исключая границы) самыми различными способами и что результаты совсем не обязательно выглядят похожими друг на друга.

Это верно даже тогда, когда С разбивается на некоторое заданное количество N равных частей. В самом деле, значения О и N определяют общую для всех частей длину г = /У-1/-0', но никак не ограничивают их размещения внутри интервала [0, 1]. Как следствие, одинаковые значения £> и N (а значит, и г) могут соответствовать значительно отличающимся друг от друга распределениям частей.

Можно представить себе два крайних случая такого распределения. В первом случае все части собираются в две кучи, ограниченные, соответственно, 0 и 1. В середине при этом получается большой пустой промежуток, относительная длина которого 1 — Ыг = 1 — Ы1^1/0 очень близка к единице. Примером такого множества может служить горизонтальное среднее сечение левого ковра Серпинского на рис. 439. В сущности, тот же эффект достигается размещением длинного пустого промежутка в любом месте интервала [0, 1].

В другом крайнем случае N частей разделяются N — 1 пустотами одинаковой длины (1 — Ыг) (Ы — 1). Примером может служить горизонтальное среднее сечение правого ковра Серпинского на рис. 439. При случайном створаживании длины пустот почти одинаковы.

При N 1 результат первого «крайнего» построения выглядит как несколько точек, имитируя тем самым размерность I? = 0, тогда как во втором крайнем случае результат построения похож на «полный» интервал (размерность £> = 1). Можно, разумеется, сымитировать любую размерность между этими двумя крайними значениями, просто выбирая для N — 1 пустот соответствующую совокупность интервалов, относительная длина которых составляет в сумме 1 — Ыг.