Различие между крайними случаями возрастает пропорционально увеличению значений Ы, 1/г и Ь. По внешнему виду минимально лаку-нарного фрактала с большим значением N довольно сложно определить его фрактальную размерность. При малых же значениях N сделать это очень легко. Таким образом, угадывание размерности £> по одному лишь внешнему виду фрактала имеет свои ограничения. Занятие это ни в коем случае не является пустым времяпрепровождением (и мы совсем недаром посвятили ему столько места в предыдущих главах), однако в случае галактик оно приводит к неверным результатам.

<| Некоторую ясность в этот вопрос вносит по необходимости «изгнанный» в главу 39 раздел, посвященный нелакунарным фракталам. При ближайшем рассмотрении оказывается, что основной характеристикой нелакунарного фрактала является его размерность подобия (которая, как мы убедимся, равна 1), а вовсе не хаусдорфова размер-

434

Случайные тремы. Текстура о X

ность. Здесь эти две размерности отличны одна от другой, причем последняя является более уместным воплощением фрактальной размерности. ►

/V > 1 И В > 1: ПУСТОТЫ ИЛИ ПЕРИСТОСТЬ

При N >■ 1 и £> > 1 разумный выбор генератора может привести к одному из следующих четырех результатов: высокой лакунарности, низкой лакунарности, перистости, произвольно близкой к перколяции, либо полному отсутствию перистости. Таким образом, введенные нами два аспекта текстуры могут, в принципе, варьироваться независимо друг от друга.

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕРЫ ЛАКУНАРНОСТИ

За то короткое время, что я занимаюсь лакунарностью, мною обнаружено несколько различных, но равно достойных рассмотрения подходов к ее исследованию. К сожалению, не приходится ожидать, что получаемые при применении упомянутых подходов альтернативные меры окажутся монотонными функциями друг от друга. Они представляют собой вещественные числа, выбранные для представления формы кривой и, как следствие, сродни таким понятиям, как «средний человек» и «типичное значение случайной величины». Типичные значения являются неопределенными по самой своей природе — что есть печальный, однако непреложный факт (невзирая на решимость многих статистиков пожертвовать всем во имя защиты своих любимцев).