ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТРЕМЫ

Прежде, чем мы приступим к рассмотрению случайных и перекрывающихся трем, опишем плоское створаживание на решетке (главы 13 и 14), используя понятие виртуальной тремы. Первый этап каскада заключается в выделении N из Ъ2 квадратных ячеек для последующего сохранения их в качестве творогов. Иначе можно сказать, что на первом этапе вырезаются Ь2 — N квадратных трем. На следующем этапе вырезаются квадратные тремы второго порядка в количестве Ь2 {Ь2 — ЛГ), включая N (Ь2 — ЛГ) истинно новых трем и (б2 — М)2 «виртуальных» трем (которые и здесь удаляют то, что уже было удалено на предыдущем этапе). И так далее.

418

Случайные тремы. Текстура о X

Пересчитав истинные и виртуальные тремы, мы обнаружим, что количество трем с площадью, превышающей некоторую величину в, пропорционально 1/ ,ч. Аналогичный вывод можно сделать и по отношению к створаживанию в 3-пространстве: количество трем, объемы которых превышают некоторую величину V, пропорционально 1/«.

Большая часть этой главы (и главы 35) посвящена рассмотрению случая, когда количество независимых трем, сосредоточенных в ячейке со сторонами йх и ду (или йх, ду и йг), представляет собой пуассонов-скую случайную величину с ожиданием

(№(площадь > а)) = (С/2а)<3,х<3,у, (№(объем > у)) = (С/Зг>) а1ха1уа1г.

Соответствующее ожидание в пространстве Кв равно

(С/Ею) дьХ\, ..., дьХЕ-

Фрактальные свойства получаемого в результате трема-множества столь же просты, как и в линейном случае, рассмотренном в главе 31. При С < 1 эти свойства можно вывести из свойств линейного множества; в предшествующих же эссе было высказано предположение, что упомянутые свойства остаются в силе при всех С. Это предположение получило подтверждение в работе [132].

При С > Е трема-множество почти наверное окажется пустым. При С < Е оно представляет собой фрактал с размерностью Е = Е — -С.

Что касается топологии трема-фракталов, то, руководствуясь общими принципами, можно предположить, что трема-множество с размерностью Е < 1 есть пыль (Ет = 0). С другой стороны, при Е > 1 одних общих принципов недостаточно, и топология определяется формой тремы. Здесь снова возникает задача о перколяции, причем в ином, нежели раньше, фрактальном контексте.