Следовательно, мы можем охарактеризовать наши субординатные подмножества кривых Коха и Пеано как фрактальные отображения фрактального подмножества моментов времени. Совершенно очевидно, что такое подмножество представляет собой канторову пыль; назовем его субординатором. Его размерность равна 1п7У/1п7У' = 1п2/1п4 = = У2. Обобщая, получаем следующее не требующее дополнительных

32 о Субординация. Упорядоченные галактики

407

объяснений соотношение:

Это также обобщает и то соотношение, которое характеризует движение Коши. При рассмотрении сечений и пересечений мы уже встречались с суммами размерностей. Теперь же оказывается, что в нашем замечательном «исчислении» смысл имеют не только суммы, но и произведения размерностей.

Разумеется, это правило имеет исключения, аналогичные тем, которые являются исключениями из правила о сложении коразмерностей при пересечении.

ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ В РОЛИ СУБОРДИНАТОРА

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения самоподобных субординатных множеств применяется самоподобный субор-динанд — такой, как броуновское или дробное броуновское движение.

Заметим, что, хотя для броуновского движения характерна размерность 2, броуновское движение, ограниченное прямой, имеет размерность 1. Следовательно, правило из предыдущего раздела принимает несколько иной вид

В общем случае для дробного броуновского движения характерна размерность 1/Н, однако

Таким образом, размерность Е пространства, которое может быть полностью заполнено этим субординатным множеством, не превышает целой части числа 1/Н.

Броуновское движение в роли субординанда. Наиболее значительным субординандом является броуновский след. Броуновское отображение моментов времени, ограниченных линейной пылью Леви с размерностью Б/2, лежащей в интервале между 0 и 1, представляет собой пространственную пыль с произвольной размерностью Е, лежащей в интервале между 0 и 2. Представляется уместным назвать такое отображение пространственной пылью Леви.