А пока заметим на будущее, что

В следа Коши — -^броуновского следа ^ -^броуновского нуль-множества •

СУБОРДИНАЦИЯ ПРИМЕНИМА И К НЕСЛУЧАЙНЫМ ФРАКТАЛАМ

Для более глубокого понимания природы фрактальной субординации применим ее к некоторым фрактальным кривым Коха и Пеано. (Как это ни странно, но настоящее обсуждение является, по всей видимости, первым случаем упоминания субординации в неслучайном контексте.)

Идея заключается в модификации этих кривых посредством замены генератора (при неизменном инициаторе) на некоторое подмножество исходного генератора. Такая операция замещает предельное фрактальное множество (которое мы будем называть субординандом) на некоторое субординатное подмножество (или субординат). Рассмотрим сначала примеры, а затем введем весьма важное правило — правило умножения размерностей.

См. также прим. к с. 302. — Прим. перев.

406

Случайные тремы. Текстура о X

Пример с .О < 2. Возьмем четырехзвенный генератор троичной кривой Коха (его мы применяли для построения фигуры на рис. 70). Если стереть второе и третье звенья, получится классический генератор троичной канторовой пыли (рис. 120). Таким образом, канторова пыль является субординатным подмножеством для трети коховой снежинки. Можно получить и другую субординатную пыль, не ограниченную прямой, если стереть, например, первое и третье из N = 4 звеньев генератора Коха. В любом случае субординация изменяет размерность с 1п4/1пЗ на 1п2/1пЗ. Если стереть только одно звено генератора, то субординатная пыль не окажется подмножеством прямой, хотя ее размерность равна 1п 3/ 1п 3 = 1.

Пример с Т> = 2. Возьмем четырехзвенную ломаную, получаемую на втором этапе построения кривой Пеано-Чезаро (рис. 98), и удалим второе и третье звенья. Новый генератор представляет собой не что иное, как сам интервал [0, 1]! Таким образом, прямолинейный интервал является субординатом кривой Пеано-Чезаро (самым что ни на есть тривиальным!) Удалив иной набор из двух звеньев, получим фрактальную пыль с размерностью £) = 1. Удаление одного звена дает множество с размерностью 1п 3/ 1п 2.

УМНОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В главах 6 и 7 мы упоминали о том, что кривые Коха и Пеано можно рассматривать как следы «движений», временной параметр I которых лежит в интервале [0, 1]. Если в качестве примера взять генератор снежинки Коха, то это время определяется следующим образом: четыре звена генератора покрываются в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются, соответственно, с 0, 1, 2 и 3. А, скажем, вторая четверть третьей четверти генератора покрывается в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются с 0, 21. Рассматриваемые в виде движений, кривые Коха и Пеано сами являются «фрактальными отображениями» интервала [0, 1]. В этом смысле воздействие упоминаемой ранее децимации звеньев генератора заключается в том, чтобы удалить те значения Ь, которые содержат цифры 1 и 2 (или 0 и 3), ограничив тем самым параметр Ь значениями, принадлежащими определенной канторовой пыли на интервале [0, 1].