Расширив этот метод вычитания 1 из I) по формальной аналогии, можно заподозрить, что должным образом выбранные сечения броуновского следа должны, как правило, иметь размерность 2 — 1 = 1. Это подозрение и в самом деле подтверждается (см. [148], с. 348). Более того, можно и нужно расширить упомянутый метод на плоские сечения следа в обычном 3-пространстве и на трехмерные сечения следа в 4-пространстве (обозначим его измерения через х, у, г и «юмор»).

Возьмем в качестве исходного броуновский след из прямой в 4-пространство и рассмотрим точки, координата «юмор» которых равна 0. Можно представить, что эти «серьезные» точки порождаются в том порядке, в каком они посещаются соответствующим броуновским движением, и что расстояния между этими посещаемыми точками независимы и изотропны. Следовательно, серьезные точки можно рассматривать как промежуточные остановки случайного полета, правила построения которого существенно отличаются от правил построения броуновского движения. Такое блуждание мы будем называть движением (или полетом) Коши. При заданных моментах времени 0 и 4 плотность вероятности вектора из точки П (0) в точку П (£) представляет собой число, кратное значению выражения

гЕ[1 + \п{г)-и(о)\Н-2]-Е/2.

32 о Субординация. Упорядоченные галактики

405

Формальное допущение Б = 1 подтверждается в работах С. Дж. Тейлора [561, 562]. Полет Копти проиллюстрирован на одном из видов рис. 414.

ПОНЯТИЕ СУБОРДИНАЦИИ

Рассмотрим внимательнее построение из предыдущего раздела. Броуновское движение из прямой в ^-пространство посещает «серьезные» точки в те моменты времени, когда одна из его координатных функций из прямой в прямую обращается в нуль. Но каждая из координатных функций представляет собой одномерное броуновское движение. Нульмножества такой функции образуют множество с размерностью И = г/2 (см. главу 25); вдобавок ко всему из взаимной независимости межнулевых интервалов следует, что рассматриваемое нуль-множество есть линейная пыль Леви. Вывод: движение Коши есть не что иное, как отображение линейной пыли Леви на броуновское движение. Вспомните об очаровательном римском обычае под названием «децимация», заключавшемся в казни каждого десятого из некоторой недружественной группы людей1, и вы увидите, что движение Коши — это результат своего рода фрактальной децимации. Первым этот процесс описал Бохнер [42], он же дал ему имя — субординация. (У Феллера [148] можно найти немало разрозненных, но весьма глубоких замечаний по поводу этого понятия.)