Важнейшим следствием такого рассуждения можно считать соотношение (М (Я)) ос Я°, где Д> 1. Именно этого соотношения мы, собственно, и добивались. Оно допускает любое значение £>, какое только могут предложить теория или результаты наблюдений.

<1 Отступление об устойчивости по Леви. При £ —> со масса, переносимая за временной интервал £ (должным образом масштабированный), сходится к случайной величине, независимой от £; эта случайная величина была впервые исследована Полем Леви, и поэтому называть ее лучше всего «устойчивой по Леви» (см. главу 39). Отсюда, кстати, и термин «полет Леви», предложенный мною для обозначения процесса, лежащего в основе моей модели.

Поскольку (и2) = ею, стандартная центральная предельная теорема здесь не годится, вместо нее следует применять специальную центральную предельную теорему. Эта замена влечет за собой довольно значительные последствия. Стандартная теорема «универсальна» в том смысле, что предел зависит только от величин (ГУ) и (II2). Нестандартная теорема не является универсальной. Через показатель £> распределение М (Я) явным образом зависит от распределения прыжков. ►

В оставшейся части главы мы построим пыль, которая играет в отношении полета Леви ту же роль, какую броуновское движение играет в

404

Случайные тремы. Текстура о X

отношении полета Рэлея. Прямая интерполяция утомительно формальна, поскольку ей приходится придавать смысл распределению Рг(Г/ > и) = = и~°, применяемому вплоть до и = 0, где оно расходится. Непрямой же подход может оказаться не только простым, но и точным, если использовать процесс субординации. Этот процесс представляет собой отдельный интерес и открывает пути для многочисленных очевидных обобщений.

ПОЛЕТ КОШИ И В = 1

Воспользуемся для представления процесса субординации наглядным примером. Если исходной кривой является броуновский след с размерностью И = 2, то для получения размерности I? = 1 нам необходимо найти способ понизить I? на единицу. Имея дело с классическими фигурами евклидовой геометрии, добиться такого понижения очень легко. В случае плоскости достаточно взять ее сечение прямой, в случае 3-пространства — его сечение плоскостью, а в случае 4-пространства — его сечение 3-пространством. Из главы 23 нам известно, что то же правило годится и для случайных фрактальных творогов, а из главы 25 — что размерность броуновской функции из прямой в прямую равна 3/2, в то время как размерность ее нуль-множества и всех сечений, не перпендикулярных оси £, равна 1/2.