Размерность £) = 2. Широко известно, что расстояние, которое ракета Рэлея преодолевает за К прыжков, возрастает пропорционально \ГК. Вследствие этого количество остановок, оказавшихся внутри сферы радиуса Я с центром в точке П (£), выражается формулой М (Я) (х Я2. Показатель здесь находится в соответствии с тем, что размерность множества промежуточных остановок П (£) составляет И = 2. Глобальная плотность, в частности, обращается в нуль.

Броуновское движение. Интерполируя полет Рэлея в непрерывном времени, получаем броуновский след, который (см. главу 25) представляет собой непрерывную кривую с размерностью И = 2. Таким образом, модель полета Рэлея является, в сущности, фрактальной кривой (Ит = 1, -О = 2), удовлетворяющей условному (а отнюдь не усиленному) космографическому принципу. Последнее заключение вполне удовлетворительно, однако значения Ит и И неприемлемы.

Обобщенная плотность. Если нагрузить броуновский след между точками П (£0) и П (£) массой 5 |£п — £|, то массу М (Я) можно представить как произведение времени, проведенного ракетой внутри сферы радиуса Я, на равномерную обобщенную плотность 6.

32 о Субординация. Упорядоченные галактики

403

Расширение Вселенной. В рамках стандартных дискуссий исходное распределение имеет равномерную плотность 6. По мере равномерного расширения Вселенной плотность 6 уменьшается, однако распределение остается равномерным. С другой стороны, общепринятое мнение состоит в том, что любое другое распределение при расширении изменяется. Равномерно нагруженный броуновский след конструктивно показывает, что это заключение неверно: плотность 5, конечно же, изменяется при расширении, однако остается определенной и равномерной.

Таким образом, в вопросе о возможном расширении Вселенной, промежуточные остановки Рэлея занимают промежуточную позицию. Это свойство остановок сохраняется и в том случае, когда размерность £> уменьшается при замене полета Рэлея на полет Леви, который мы сейчас и рассмотрим.

Промежуточные остановки полета Леви. Нецелочисленные размерности И < 2. Моя модель распределения галактик, основанная на случайных блужданиях, способна реализовать любую желаемую фрактальную размерность £> < 2 с помощью пыли, т. е. множества, топологическая размерность которого равна нулю. Для достижения этой цели я использую случайное блуждание, в котором математическое ожидание (II2 (£)) бесконечно, поскольку величина II представляет собой гиперболическую случайную величину с внутренним пределом при и = 1. Так, при и ^ 1 вероятность Рг(ГУ > и) = 1, а при и > 1 вероятность Рг(ГУ > и) ос и~°, где 0 < О < 2.