Рг{М (d) > 0\M(R) > 0} = {d/R)1-0',

где D* — константа, определяемая спецификой рассматриваемого процесса. Для доказательства этого утверждения достаточно ввести некоторую промежуточную величину d!', удовлетворяющую неравенству d < d' < R, и разложить нашу условную вероятность Рг в виде

Pr{M (d) > 0\М (d!) > 0} Pr{M (d1) > 0\М (R) > 0}.

Объединив два последних равенства, получим

(M(d)\M(d) > 0) = (d/R)D* (М (R)\M (R) > 0).

Таким образом, для того, чтобы показать, что

(M(d)\M(d) > 0}d-D' = const,

вполне достаточно просто объединить условную стационарность с самоподобием. В данной конкретной модели D* = D. Кроме того, из одного лишь самоподобия следует, что величины

{Момент возникновения первой ошибки \М (R) > 0}/R и {М (R)\M (R) > 0}/(М (Д)|М (Я) > 0)

31 о Тремы в интервале. Линейная пыль Леви

3!

являются случайными величинами, зависящими от И, но не зависимыл ни от Д, ни от О.

В отличие от условной вероятности, абсолютная вероятность об словливающего события М (К) > 0 сильно зависит от £1 Однако ее: усечение до £2 < со произведено должным образом, то получается сл дующее равенство:

Рг{М(Д) > 0} = {я/щ1-0.

Поскольку последнее выражение можно вывести из выражения, прив денного в предыдущем абзаце, просто заменив Д на Ь, а <1 на Д, собьш «М (Д) > 0, если известно, что Ь < со» можно рассматривать как с бытие «М (К) > 0, если известно, что М (Ь) > 0». В пределе О —> с вероятность того, что интервал [0, Д] целиком поместится в некоторс очень длинной паузе, стремится к единице, т. е. вероятность возникнов ния ошибки становится бесконечно малой. Однако на выведенную ран условную вероятность количества ошибок это никак не влияет.

Предыдущее рассуждение можно рассматривать как дополнение обсуждению условного космографического принципа в главе 22. ►

Рис. 398. УЛИЦЫ, ПРОЛОЖЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ

Как уже указывалось в главе 8, канторову пыль, к большому наше» сожалению, очень сложно изобразить непосредственно. Однако мы м жем представить ее себе опосредованно, в виде пересечения троичш кривой Коха с ее основанием. Аналогичным образом можно опосред ванно представить пыль Леви. На иллюстрации показаны черные п лосы, напоминающие улицы и расположенные случайным образом; ч' особенно важно, их направления изотропны. Ширина «улиц» следует г перболическому распределению и очень быстро уменьшается настольк что их становится невозможно изобразить на рисунке. Площадь остато ного множества (участки белого цвета, или «кварталы») асимптотичес! приближается к нулю, а размерность £> — к некоторой величине, мен шей 2.