Эволюция этих кластеров при п —> со управляется новым процессом — процессом рождения и гибели. Как и в классической теории (см. главу 23), кластеры гибнут или множатся независимо от других кластеров с тем же п, равно как и от истории их семей. Вероятность стирания длинного межпаузного интервала меньше, чем вероятность стирания короткого, и кроме того, длинный интервал порождает в среднем более многочисленное потомство. При возрастании величины 1 — интервалы между е-паузами становятся короче, а некоторые интервалы между (е/3)-паузами исчезают вовсе. Таким образом, ожидаемое количество потомков уменьшается двумя путями. Значение -О* = 0 является критическим в том смысле, что при _0* ^ 0 семейство почти наверное обречено на вымирание, тогда как при _0* > 0 существует положительная вероятность того, что семья будет процветать и множиться вечно.

396

Случайные тремы. Текстура о X

СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОШИБОК СОГЛАСНО МОДЕЛИ БЕРГЕРА - МАНДЕЛЬБРОТА

< Это техническое отступление призвано показать, что основные результаты, касающиеся распределения ошибок в модели, основанной на канторовой пыли, остаются истинными и после рандомизации. Более того, в этом случае рассуждения и выводы значительно упрощаются, особенно если принять О, = оо. Мы продемонстрируем применение условного математического ожидания в самоподобных процессах на следующем примере.

Предположим, что в интервале [О, R] имеется, по меньшей мере, одна ошибка; значение R находится в диапазоне, определяемом неравенствами R ^> ц и R <С £1 Такое условие имеет вид М (R) > 0. Причина, по которой модель Бергера - Мандельброта называется условно стационарной, заключается в следующем: если интервал [t, t + d] целиком находится внутри интервала [0, R], то распределение условного количества ошибок, определяемого выражением {М (t+d) — M (i)\M (R) > 0}, не зависит от t. Следовательно, достаточно рассмотреть его при t = 0. Кроме того, учитывая аддитивность математических ожиданий, из одной лишь условной стационарности следует, что

(М (d)\M (R) > 0) = {d/R)(M (R)\M (R) > 0).

Самоподобие же подразумевает, что