Будучи независимыми, тремы могут пересекаться, чем они и занимаются с большим удовольствием: вероятность того, что какую-либо трему ни разу не пересечет другая трема, равна нулю. Иными словами, понятия тремы и пустоты (или паузы) больше не совпадают: термином пустота мы теперь обозначаем интервалы, образованные перекрывающимися тремами. Возникает вопрос: сливаются ли все тремы в конце концов в одну гигантскую пустоту, или в интервале остаются непокрытые ими точки? Мы сначала объявим ответ, а затем, в следующем разделе, обоснуем его с помощью наглядного рассуждения на примере процесса рождения и покажем, что непокрытые точки образуют невынужденные кластеры.

Рассмотрим интервал, не покрытый полностью тремами с длиной больше £о, и введем меньшие тремы, длина которых превышает движущийся порог е, убывающий с £о до 0. Устремив при £>* < 0 порог е к 0, мы почти наверняка (вероятность стремится к 1) получим интервал, в котором не остается непокрытой ни одна точка. При 0 < < 1 может получиться то же самое, однако почти полной уверенности тут уже нет.

31 о Тремы в интервале. Линейная пыль Леви

395

Даже в пределе существует некоторая положительная вероятность, что какой-то участок («трема-фрактал») останется непокрытым. В [371] доказывается, что этот трема-фрактал представляет собой не что иное, как пыль Леви с размерностью И = . Короче говоря, И = тах(ГЛ, 0).

ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И НЕВЫНУЖДЕННАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ В ПЫЛИ ЛЕВИ

При построении, описанном в главе 8, канторовы ошибки поступают иерархическими пакетами или «кластерами», причем интенсивность кластеризации находится в соответствии с показателем И. Это свойство сохраняется и тогда, когда паузы перемешаны случайным образом, однако доказательство этого утверждения весьма запутано и мало что проясняет.

Напротив, доказательство того же результата для пыли со случайными тремами является очень простым и представляет подлинный интерес.

Суть, опять же, заключается в том, чтобы начать с трем, длина которых несколько больше порога е, затем многократно умножать е на некоторый коэффициент г < 1 (скажем, г = У3) с тем, чтобы значение е устремилось к нулю. Начинаем с межпаузного интервала, не содержащего трем, ограниченного двумя «е-паузами». Добавление трем с длинами между е/3 и е приводит иногда к совершенно опустошительному результату: стирается весь интервал. Существует, однако, неплохая вероятность того, что воздействие будет значительно более мягким: а) ограничивающие е-паузы растягиваются в более длинные (е/3)-паузы и б) внутри нашего межпаузного интервала появляются дополнительные малые (е/3)-паузы. Заново определенные межпаузные интервалы неизбежно выглядят как кластеризованные. Аналогичным образом порождаются и подкластеры, только (е/3) нужно заменить на е/9, ..., 3_пе, ...