Оказывается, нуль-множество броуновского движения (глава 25) представляет собой пыль Леви с £) = 1/2.

К сожалению, метод, использованный Леви при введении своего множества, сохраняет вышеупомянутые недостатки (в) и (г). К тому же, он весьма деликатен в формальном смысле: требуется, чтобы значение и было не просто целым числом > 1, но и могло принимать любые положительные вещественные значения с Рг({7 > и) = 1Ги вплоть до и = = 0. Так как 0~П = со, общая «вероятность» также бесконечна. Метод, используемый для устранения этой, по всей видимости, нелепой возможности, весьма важен и интересен, однако никакого иного отношения к нашей работе не имеет.

К счастью, от этих трудностей легко избавиться, приняв более естественный способ построения «трем», предложенный в [371].

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВИРТУАЛЬНЫЕ ТРЕМЫ

Предварительное замечание: я утверждаю, что было бы очень полезно описать исходную канторову пыль с помощью сочетания «дей-

394

Случайные тремы. Текстура о X

ствительных» и «виртуальных» трем. Начинаем — как обычно — с интервала [0, 1] и вырезания его средней трети ]У3, 2/3[. После этого этапа сущность построения остается той же, однако формальное описание изменяется. Мы делаем вид, что средние трети на втором этапе вырезаются из каждой трети исходного интервала [0, 1]. Хотя вырезание средней трети из уже вырезанной средней трети не оказывает сколько-нибудь заметного воздействия, виртуальные тремы вскоре окажутся весьма удобными. Далее аналогичным образом вырезаем средние трети из каждой девятой части интервала [0, 1], затем из каждой 27-й и т.д. Заметим, что распределение количества трем, длина которых превосходит и, задается теперь ступенчатой функцией, общий характер изменения которой пропорционален уже не и~п, а и~г. Характер зависимости от и сохраняется неизменным при различных правилах створаживания; от метода построения зависят только расположение ступеней и коэффициент пропорциональности.

ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПУСТОТЫ [371]

В работе [371] я рандомизировал канторово построение путем сглаживания ступеней распределения и выбором расположения трем и их длин случайным образом, независимо друг от друга. Наконец, для реализации пропорциональности и-1 предполагается, что количество трем, длина которых превышает и, а центр приходится на некий интервал длины Д£, имеет математическое ожидание, равное (1 — £>*)Д£/и, и пуассоновское распределение. Причина введения обозначения 1 — £>* вскоре прояснится.