В результате получаем рандомизированную канторову пыль с е > 0. К сожалению, ступени распределения Рг({7 > и) все еще сохраняют в себе следы исходных значений N и г. Поэтому в [21] мы сгладили эти ступени: мы положили, что длины последовательных пустот, измеренные в единицах е, представляют собой статистически независимые целые числа ^ 1, причем их распределение имеет следующий вид:

Рг(Е/ > и) = и-°.

Соответствие этой модели действительности оказалось на удивление хорошим: немецкие государственные телефонные линии показали £> ~ 0, 3, а согласно сообщениям других авторов, исследовавших позднее другие каналы, значение И варьируется от 0,1 до почти 1.

Длительности последовательных пустот в нашей с Бергером модели независимы; следовательно, ошибки представляют собой то, что в теории вероятности называется «процессом восстановления» или «возвратным процессом» (см. [147]). Каждая ошибка — это точка возврата,

31 о Тремы в интервале. Линейная пыль Леви

393

где прошлое и будущее статистически независимы друг от друга и следуют одинаковым для всех ошибок правилам.

ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ

К сожалению, множество, полученное перемешиванием пустот усеченной канторовой пыли (и сглаживанием их распределения), также не избавлено от недостатков: а) соответствие формулы данным наблюдения по избыточным шумам все еще не полно; б) ограничение е > О, возможно, вполне приемлемо для физиков, однако весьма досадно с эстетической точки зрения; в) построение остается неуклюжим и произвольным; и, наконец, г) оно слишком далеко по духу от оригинального построения Кантора.

В [347], воспользовавшись множеством, предложенным Полем Леви, я построил усовершенствованный вариант искомого множества, лишенный недостатков (а) и (б). Позвольте мне назвать такое множество пылью Леви. При заданном значении И пыль Леви является единственным множеством, сочетающим в себе два желаемых свойства. Как и в рандомизированной усеченной канторовой пыли, прошлое и будущее, рассматриваемые из принадлежащей этому множеству точки, независимы друг от друга. Как и канторова пыль, пыль Леви представляет собой самоподобный фрактал. Однако пыль Леви статистически тождественна самой себе при уменьшении с произвольным коэффициентом подобия г в интервале от 0 до 1 — ничем подобным канторова пыль похвастаться не может