В настоящей главе мы поговорим о случайных пылевидных множествах, ограниченных прямой, и попытаемся применить их к решению проблемы шума, с которой мы впервые столкнулись в главе 8, а также подготовим почву для их обобщения на плоскость и пространство; различные варианты такого обобщения будут описаны дальше, в главах 32 и 33.

Главная практическая цель глав 32, 33 и 35 — внести вклад в построение модели скоплений галактик; впервые возможности решения этой проблемы мы обсуждали в главе 9.

УСЛОВНО СТАЦИОНАРНЫЕ ОШИБКИ [21]

В главе 8 мы с восторгом обнаружили, что канторова пыль представляет собой вполне приемлемую модель главных характерных особенностей некоторых избыточных шумов в первом приближении. Однако мы даже не попытались проверить действительное соответствие модели реальным данным. Причина, очевидно, заключается в том, что мы заранее

392

Случайные тремы. Текстура о X

знали — никакого соответствия здесь нет и в помине. Канторова пыль слишком правильна для того, чтобы служить точной моделью любого из известных мне естественных иррегулярных феноменов. В частности, коэффициенты самоподобия канторовой пыли ограничены величинами вида гк. Кроме того, способ построения канторовой пыли также накладывает свой отпечаток (весьма неудачный, надо сказать): канторово множество не может быть совмещено само с собой посредством сдвига — иными словами, оно не является инвариантным относительно сдвига.

Иррегулярность можно легко привнести — для этого существует рандомизация. Что касается инвариантности при сдвигах, то от нашей искомой замены канторову множеству потребуется лишь инвариантность в статистическом смысле. В рамках вероятностной терминологии это означает, что множество должно быть стационарным или, по меньшей мере, удовлетворять некоторому подходящим образом смягченному условию стационарности.

В главе 23 было предложено весьма простое средство для частичного достижения этой цели. В настоящей главе мы продвинемся еще на три шага вперед.

Первый шаг можно позаимствовать из самой ранней реалистичной модели перемежаемости. В работе [21] мы начали с некоторого конечного приближения канторовой пыли с порогами е > 0 и Г2 < со, а затем случайным образом перемешали пустоты, чтобы добиться их статистической независимости друг от друга. Интервалы длины е между последовательными пустотами мы оставили неизменными. В главе 8 показано, что относительное количество пустот, длина которых превышает и, задается в канторовой пыли почти гиперболической ступенчатой функцией. Рандомизация по-новому интерпретирует эту функцию в качестве распределения вероятностей больших отклонений Рг({7 > и).