< Для любого М > 2 возможно непосредственное обобщение в броуновскую функцию от М-мерной переменной х = {х\ ... хм}- Из приведенного выше рассуждения для случая М = 2 можно видеть, что при заданной функции Вн {х) разница между В*н и Вн уменьшается по мере увеличения М. В пределе, когда М = со, а Вн — есть броуновская функция в гильбертовом пространстве, из классических результатов, полученных Полем Леви, следует, что В*н — Вн = 0. Останется ли это тождество истинным для всех М > Мкрих, где Мкрих < со? ►

30 о ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Кульминацией настоящей главы станет объяснение иллюстраций 25 и 26, а ее главной темой — дробные броуновские функции от трех переменных с антиперсистентным показателем Н < г/2. Особо подробно мы остановимся на случае Н = У3, а отправной точкой нам снова послужит значение Н = У2.

ИЗОПОВЕРХНОСТИ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Когда жидкость турбулентна, изотермальная поверхность, где температура в точности равна, скажем, 45°Е, топологически представляет собой совокупность сфер. Однако здравый смысл подсказывает нам, что такая поверхность должна быть гораздо более иррегулярной, чем сфера или граница любого тела, описанного в евклидовой геометрии.

В голову приходит приведенная во второй главе цитата из Перрена, описывающая форму коллоидных чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. Сходство между этими двумя явлениями вполне может выйти за пределы простых геометрических аналогий. Может оказаться так, что чешуйка заполняет зону, в которой концентрация мыла превышает некоторый порог; кроме того, эта концентрация может выступать в качестве инертного индикатора очень развитой турбулентности.

Как бы то ни было, исходя из аналогии с коллоидными чешуйками, можно предположить, что изотермальные поверхности представляют собой поверхности, близкие к фрактальным. Неплохо было бы выяснить, в самом ли деле это так, и — если так, то оценить их фрактальную размерность. Для этого нам необходимо знать, как распределяются температурные изменения в жидкости. Коррзин [87], как и многие другие, сводит эту задачу к классической задаче, которой занимались в 40-х гг. Колмогоров и его коллеги. В некотором смысле эти исследователи блестяще справились с поставленной задачей; с другой стороны, можно сказать, что их постигла неудача. Для неспециалистов я привожу ниже краткий обзор упомянутых классических результатов.