388

Дробные броуновские фракталы о IX

ДЕЛЬТА-ДИСПЕРСИЯ БЮРГЕРСА

Дельта-дисперсия величины X определяется в главе 21 как дисперсия приращения X. И. М. Бюргере предположил, что дельта-дисперсия скорости между двумя заданными точками Р и Ро = Р + АР пропорциональна |АР|. Этим простым приближенным постулатом определяется турбулентность Бюргерса.

Точной математической моделью функции Бюргерса является функция Пуассона, которая строится из бесконечно большого набора скачков направления движения, величин сдвига и интенсивности, задаваемых тремя бесконечными последовательностями взаимно независимых случайных величин. Что-то напоминает, не правда ли? Если не считать добавления переменной г к х и у и замены одномерной высоты трехмерной скоростью, то гауссова функция Бюргерса в точности совпадает с функцией, на которой построена моя обыкновенная броуновская модель земного рельефа, описанная в главе 28.

ДЕЛЬТА-ДИСПЕРСИЯ КОЛМОГОРОВА

В качестве модели турбулентности дельта-дисперсия Бюргерса не выдерживает никакой критики, причем самым убийственным из ее недостатков является то, что она не соответствует действительности с точки зрения анализа размерностей. Согласно выдержанной в размерностном духе аргументации, выдвинутой Колмогоровым (а также, одновременно с ним, Обуховым, Онсагером и фон Вайцзекером), возможны только два варианта: либо дельта-дисперсия универсальна, т. е. одинакова независимо от условий эксперимента, либо в ней нет никакого смысла. Для того чтобы быть универсальной, дельта-дисперсия должна быть пропорциональна |АР| Подобные выводы можно встретить во многих источниках, а их геометрическую природу подчеркивал еще Биркгоф [37].

После первоначальных сомнений было установлено, что колмо-горовская дельта-дисперсия удивительно хорошо объясняет турбулентность в океане, атмосфере и других больших объемах. (См. [174].) Это подтверждение знаменует собой триумфальную победу абстрактного априорного мышления над беспорядочностью сырых данных. Такая победа, несомненно, заслуживает (невзирая на многочисленные оговорки, к которым мы в главе 10 добавили несколько своих) того, чтобы о ней знал не только узкий круг специалистов.