Вернемся к броуновскому материку Вн (х, у) на плоской Земле. И в этом случае функция В*н (х, у) определяется с помощью аналогичного условия: капля воды, отправившись в путь из точки, расположенной на высоте г > В*н (х, у), может добраться до океана по невосходящей траектории, любая точка которой находится выше материка. Как и ранее, пространственная область, внутри которой справедливо неравенство Вн (х, у) < г ^ В*н (х, у), распадается на отдельные связные открытые области, определяющие чаши.

Сравним эти чаши с чашами на очень тонком срезе материка, ограниченном параллельными стенами у = 0 и у = е, применяя введенные ранее обозначения Вн(х) и В*н{х). Согласно определению функции В*н (х), пути утекания воды ограничиваются траекториями, которые находятся между упомянутыми стенами, тогда как определе-

386

Дробные броуновские фракталы о IX

ние В*н (х, 0) допускает гораздо более широкий выбор возможных путей утекания. Следовательно, В*н (х, 0) < В*н (х) почти при любом х. То есть функция В*н (х, 0), равно как и любое другое вертикальное сечение функции В*н (х, у), представляется намного более интересной, нежели функция В*н (х). Эти сечения представляют собой чертовски террасированные сингулярные функции с бесконечным количеством пи-кообразных локальных максимумов и плоских локальных минимумов. Если верно мое наиболее правдоподобное предположение, то последние покрывают почти все точки материка.

Так как сумма площадей чаш не может быть больше площади материка, чаши можно расположить в порядке убывания площади, а это означает, что множество чаш счетно. Следовательно, береговая линия материка В и, соответствующая некоторому случайному значению го, почти наверняка не содержит двойных точек.

Значит, совокупную границу всех чаш можно получить следующим образом: возьмем некоторое счетное множество значений гт — сюда почти наверное не войдет значение, при котором береговая линия образует петлю. Цензурируем множество береговых линий посредством удаления из всех значений го = гт тех, что соответствуют береговым линиям глухих долин. К полученному объединению цензурированных береговых линий добавим его предельные точки.