СВОЙСТВА ЧАШ

Взглянем на высказанные ранее утверждения в более широкой перспективе, для чего рассмотрим сначала простой, одномерный случай — дробную броуновскую функцию Вн (х) из прямой в прямую. Островом в таком рельефе будет интервал [х', х"\, в котором Вн (х) > О при х' < х < х", а Вн (х') = Вн (х") = 0. Обозначим через х = хо точку, в которой значение функции В достигает максимума (вероятность

29 о Площади островов, озер и чаш

385

существования нескольких максимумов хо исчезающе мала), и определим функцию В*н (х) следующим образом:

В*н (х) = шах Вн (х), если х находится в интервале [х', хо],

Очевидно, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы капля, отправившись в путь из точки (х, £), добралась до океана, двигаясь все время по невосходящей траектории, является справедливость неравенства г ^ В*н (х). Капли, для которых верно неравенство Вн (х) < г < В*н (х), остаются в чашах навсегда, а значение г = = В*н (х) соответствует уровню воды, достигаемому после заполнения всех чаш. Эта наша функция В* представляет собой не что иное, как чертову лестницу Леви (см. рис. 399 и 400), идущую вверх от точки х' до точки хо и объединенную с другой лестницей, идущей вниз от хо до х". Она непрерывна, но недифференцируема, и изменяется на множестве нулевой длины. Любая капля воды, добавленная вблизи высочайшей точки материка, вскоре вольется в океан, двигаясь только по плоским областям, чередующимся с «водопадами».

Капли, которые не могут утечь в океан, заполняют область Вн (х) < г ^ В*н (х). Эта область несвязна, так как она не содержит точек, в которых В*н = Вн, а ее связные участки представлены расположенными на материке чашами. Длина чаши определяется как расстояние между двумя последовательными нулевыми значениями разности В*н — Вн- Благодаря масштабной инвариантности функции распределение этой длины следует гиперболическому закону; известно, что при Н = 1/2 показатель распределения также равен г/2, и я убежден, что этот показатель всегда совпадает со значением параметра Н. Отношение наибольшей длины чаши к \Ь' — £"| имеет наибольшее значение при Н —> 0 и наименьшее — при Н —> 1.