Рассмотрим две точки, расположенные, соответственно, к востоку и к западу от меридионального сечения рельефа. Рельеф вдоль меридиана представляет собой броуновскую функцию из прямой в прямую, следовательно, «наклон кривой» в каждой отдельной точке является независимой величиной. Кроме того, можно ожидать, что наш меридиан послужит чем-то вроде экрана — то есть знание рельефа в восточной точке никоим образом не повлияет на распределение рельефа в западной точке. < Если бы это было так, то рельеф был бы марковским. ► В действительности же запад влияет-таки на восток — в том смысле, что порождающий процесс неизбежно привносит сильную глобальную зависимость.

Эта зависимость делает построение броуновской поверхности существенно более трудной задачей, нежели построение броуновской функции из прямой в прямую. Описанный в главе 25 процесс случайного срединного смещения, с помощью которого нам не удалось построить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую (что задокументировано в главах 26 и 27), непригоден также и для построения обыкновенной броуновской функции из плоскости в прямую. То есть нельзя сначала привязать эту функцию к некоторой грубой решетке, а затем вписать в каждую ячейку ее значения независимо от остальных ячеек. Невозможно также построить ее по слоям: сначала для х = 0, затем для х = е (не принимая во внимание значения при х < 0), затем для х = 2е (не принимая во внимание значения при х < е) и т. д.

Вообще, любой алгоритм, который сулит простое пошаговое обобщение броуновской функции из прямой в прямую на «многомерное вре-

362

Дробные броуновские фракталы о IX

мя», неизбежно дает в конечном счете функцию, систематически отличную от обещанной.

Как указывается в последнем разделе данной главы, в моделях, в создании которых я принимал участие, громоздкие теоретические определения были переформулированы таким образом, чтобы включать последовательные приближения с известными значениями погрешности. Однако я не могу поручиться за всех тех, кто присоединился к этой игре, вдохновившись моими предыдущими эссе.

БРОУНОВСКИЙ РЕЛЬЕФ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ