Речь идет о броуновской функции точки из плоскости в прямую (В (Р)), определенной Полем Леви в [306]. Для того чтобы свести с ней близкое знакомство и получить возможность использовать ее в реальных моделях, не существует иного пути, нежели самое тщательное изучение уже готовой модели, изображенной на рис. 370. Этот воображаемый броуновский ландшафт характеризуется фрактальной размерностью В = = 5/2 и, несомненно, является более пересеченным, чем большая часть поверхности Земли.

Таким образом, перед нами грубая модель, которая так и напрашивается на возвращение на верстак для доработки. И все-таки она символизирует собой огромный — и прекрасный! — шаг вперед.

Предупреждение об опасности броуновских листов. Размножению различных вариантов броуновского движения не видно конца, и терминология здесь еще не совсем устоялась. Не следует путать упомянутую здесь броуновскую функцию из плоскости в прямую с броуновским листом. Последний представляет собой совершенно иной процесс, обращающийся в нуль вдоль координатных осей и строго изотропный. Подробности можно найти в книге [3], особенно интересны иллюстрации на с. 185 и 186.

БЕРЕГОВЫЕ ЛИНИИ БРОУНОВСКОГО РЕЛЬЕФА

Остановимся на минуту и оценим, насколько далеко мы уже продвинулись в изучении океанских береговых линий, определяемых в

360

Дробные броуновские фракталы о IX

виде нуль-множеств (т. е. множеств точек, расположенных на уровне моря, включая и те, что принадлежат прибрежным островам). Броуновская береговая линия, изображенная на рис. 377, — первая встреченная мною кривая, которая а) лишена самопересечений, б) практически лишена самокасаний, в) имеет фрактальную размерность, явно большую 1, и г) изотропна. Более поздний вариант показан на рис. 373.

Точное значение размерности равно 3/2. Так как это значение больше, чем большинство размерностей Ричардсона (рис. 57), применимость броуновской береговой линии несколько ограниченна. Она и в самом деле напоминает северное побережье Канады или Индонезии, а возможно, даже западное побережье Шотландии или берега Эгейского моря—в общем, применима ко многим примерам, но, конечно же, далеко не ко всем. Впрочем, имея в распоряжении данные Ричардсона, было бы неразумно ожидать, что какое-то одно значение И окажется универсальным.