На одном из этапов обсуждения функция (корреляция) записывается как бесконечная сумма экспоненциальных функций. Я уже не помню, сколько раз я пытался убедить окружающих в том, что показать гипербо-

356

Дробные броуновские фракталы о IX

личность этой суммы ничуть не проще, чем объяснить гиперболичность исходной кривой, и сколько бесконечных часов потратил я на доказательство того, что все попытки высосать эту причину из пальца обладают лишь магической (но никак не научной) ценностью — по крайней мере до тех пор, пока остаются безрезультатными. Можете себе представить, каким облегчением оказалось для меня открытие, что я не одинок в своих трудах, — и самому Джеймсу Клерку Максвеллу приходилось в свое время заниматься чем-то подобным (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ: ЖИВУЧИЕ ПАНАЦЕИ ИЗ ПРОШЛОГО в главе 41).

Разумеется, практикующему инженеру-гидрологу ничего не стоит навязать любому процессу конечный внешний порог, величина которого будет сравнима со сроками выполнения самого затянутого инженерного проекта.

ДРУГИЕ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ШУМЫ. 1//-ШУМЫ

Формальное определение. Шум X (г.) следует называть масштабно-инвариантным, если либо сама функция X, либо ее интеграл или производная (повторные, если возникает такая необходимость) са-моаффинны. То есть, если функция X (£) статистически тождественна своему преобразованию при сжатии времени, сопровождаемом соответствующим изменением интенсивности. Следовательно, должен существовать такой показатель а > 0, что функция X (£) была бы статистически тождественна функции 1ь~аХ (Ы) при любом Ь, > 0. В более общем виде (особенно для случая дискретного £) функцию X (£) следует называть асимптотически масштабно-инвариантной, если существует некая медленно изменяющаяся функция Ь (К) — такая, что функция Ьга Ь~х (К) X (Ы) стремится к пределу при К —> 0.

Такое определение подразумевает необходимость проверки всех математических характеристик функций X (£) и ЬгаХ (Ы). А это означает, что в эмпирической науке масштабную инвариантность никак нельзя доказать, и в большинстве случаев заключение о наличии этого свойства делается на основании одного-единственного критерия, который затрагивает только какой-нибудь один аспект тождественности — например, распределение длин пауз (глава 8) или отношение Херста К/в.