На неограниченные же следы параметр Н оказывает качественное влияние. Если след начинается в точке О в момент времени 0, то известно, что ожидаемое количество его возвращений в малую окрестность точки О бесконечно для броуновской модели; однако при Н > г/2 оно становится конечным. < Причина заключается в том, что инте-

оо

грал / £-2Я ей, полученный в предпоследнем разделе главы 25, при Н = 1

= У2 расходится, а при Н > 1/2 сходится. ► Когда в одном объеме укладывается некоторое конечное число фрактальных сетей, покрытие становится менее лакунарным, однако достичь таким образом плотного покрытия почти наверное невозможно. Количество уложенных в одном объеме решеток мало, если значение параметра Н близко к 1, и устремляется к бесконечности при Н = У2.

Н < У2: АНТИПЕРСИСТЕНТНЫЕ ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

Дробные броуновские движения с 0 < Н < У2 описываются ан-типерсистентными функциями и следами. Под антиперсистентностью подразумевается стремление постоянно возвращаться к исходной точке, следствием чего является более медленное (чем у броуновских аналогов) рассеяние.

Формула И = 1/Н справедлива только при условии, что Е > 1/Н. Если же Е < 1/Н (особенно в случае плоскости, Е = 2), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значения, Е = Е. Напомним, что наибольшим возможным значением размерности для броуновского следа является И = 2, и этот максимум может быть реализован только в случае Е ^ 2. Если втиснуть броуновский след в реальную прямую с размерностью Е = 1, то ему придется примириться с И = 1. При Н = Уз след ДБД едва заполняет обыкновенное 3-пространство.

В случае же плоскости (Е = 2) анализ размерностей показывает, что неограниченный след с Н < 1/2 почти наверное посещает любую заданную точку бесконечно часто. Таким образом, в противоположность функции В (£), которая не совсем отвечает ожиданиям, связанным с ее размерностью И = 2, и заполняет плоскость плотно, но не полностью, броуновский след при любом превышении параметром 1/Н значения 2 заполняет плоскость полностью. Для доказательства того, что след Вн (£) почти наверное бесконечно часто возвращается к своей исходной точке, вспомним из главы 25, что размерность множества