Предыдущая Следующая
РАЗМЕРНОСТЬ Г> ОБОБЩЕННОЙ БРОУНОВСКОЙ ФУНКЦИИ И ЕЕ НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
Приращения персистентны, и график функции Вн (£) менее иррегулярен, чем график обыкновенной броуновской функции В (£), причем во всех масштабах. Это выражается в размерности функции Вн (£) (В = = 2 — Н). Размерность ее нуль-множества равна 1 — Н.
Н > у2: ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ
В случае двумерной векторнозначной функции Вн (£) нас будут интересовать движения, направления которых стремятся к персистент-ности во всех масштабах. Персистентность включает в себя достаточно сильное стремление (не подразумевающее, однако, обязательности) избежать самокасаний. А поскольку в настоящем эссе мы желаем сохранить и самоподобие, допустим, что координатные функции Хн (£) и Ун (£) представляют собой дробные броуновские функции из прямой в прямую от времени, статистически независимые и характеризующиеся одним параметром Н. Таким образом, мы получаем дробный броуновский след из прямой в плоскость (см. рис. 357).
Фрактальная размерность такого следа определяется как В = 1 /Н; ее наименьшее значение В = 1/1 = 1, каким оно, собственно, и должно быть у кривой, а наибольшее — В = 1 /(Уг) = 2. Последнее значение предполагает, что след функции Вн (£) заполняет плоскость менее «плотно», чем обыкновенный броуновский след. Для того, чтобы подтвердить это предположение, рассмотрим по отдельности ограниченный и неограниченный следы.
Влияние параметра Н на ограниченные следы носит чисто количественный характер. При Н > 1/2 (равно как и при Н = 1/2) ограниченный броуновский след представляет собой фрактальную сеть, пронизанную бесконечным количеством пустот. Исходя из сильных эвристических соображений, можно предположить, что площадь этих пустот удовлетворяет равенству Рг(ГУ > и) ос и~°/Е = иг/2Н.
354
Дробные броуновские фракталы о IX
Кроме того, я экспериментально исследовал границы ограниченных следов с различными И в поисках отклонения от значения 4/3, каковое значение, согласно пояснению к рис. 340, наблюдается в броуновском случае. Никакого сколько-нибудь явного отклонения я не обнаружил! Предыдущая Следующая
|