ДРОБНАЯ ДЕЛЬТА-ДИСПЕРСИЯ

В главе 21 дельта-дисперсия случайной функции определяется как дисперсия приращения функции за приращение времени Д£. Дельта-дисперсия обыкновенной броуновской функции равна |Д£| (см. главу 25). Как я отметил в [348], для объяснения соотношения Хер-ста Н(с1)/8(с1) ос с1н, где Н может принимать любое значение, вполне достаточно, чтобы кумулятивный процесс X* был гауссовым процессом с обращающимся в нуль дельта-ожиданием и дельта-дисперсией, равной |Д£|2Я. Эти условия определяют некоторый уникальный масштабно-инвариантный случайный гауссов процесс. А поскольку показатель 2Н представляет собой дробное число, этот уникальный процесс может с полным правом называться дробной броуновской функцией из прямой в прямую (приведенной). Подробности и иллюстрации можно найти в [404, 405, 406, 407, 408].

Переходя от функций из прямой в прямую к функциям Вн (£) из прямой в плоскость, можно предложить в качестве необходимого дополнения следующее альтернативное определение: среди кривых с размерностью И = 1 /Н, параметризованных по времени, след функции Вн (£) является единственной кривой, приращения которой подчиняются гауссову распределению и стационарны относительно любого смещения (т. е. «лишены складок»), а также масштабно-инвариантны относительно любого значения коэффициента г > 0.

Значение Н = У2 (или £> = 2) соответствует обыкновенному броуновскому движению, которое, как мы знаем, представляет собой процесс, не проявляющий персистентности (т. е. его приращения независимы). Остальные ДБД распадаются на два резко отличных друг от

27 о Стоки рек. Масштабно-инвариантные сети и шумы

351

друга семейства. Значения показателя Херста г/2 < Н < 1 соответствуют персистентному ДБД, следами которого являются кривые с размерностью .О = 1/Н, причем 1 < £> < 2. Значения показателя Херста 0 < Н < У2 соответствуют антиперсистентному ДБД.

ДРОБНОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

После того, как желательная дельта-дисперсия определена, остается реализовать ее на практике. Если мы начинали с броуновского движения, то теперь следует привнести в него персистентность. Стандартным методом для этого является интегрирование, однако оно вносит больше персистентности, чем нам необходимо. К счастью, существует способ получить при интегрировании лишь некоторую часть стандартного эффекта. При 0 < Н < У2 то же верно и для дифференцирования. Идея такого способа скрывается в одном из «классических, но не вполне ясных» закоулков математики. Впервые она пришла в голову еще Лейбницу (см. главу 41), а затем была воплощена Риманом, Лиувиллем и Вейлем.