Из школьного курса дифференциального исчисления мы помним, что если т — некоторое целое положительное число, то т-кратным дифференцированием функция х^ преобразуется в функцию х^~т, а т-кратным интегрированием — в функцию х^2+т (не забываем, разумеется, об умножении каждый раз на соответствующую константу). Алгоритм Римана-Лиувилля-Вейля обобщает это преобразование на случай нецелого т, а дробное интегродифференцирование порядка 1 /£> — — У2, примененное к броуновскому движению, дает ДБД. Таким образом, обычная броуновская формула (смещение) ос \ф(время) заменяется ее обобщенным вариантом (смещение) ос (время)1/13, где 1/£> ф г/2. Чего мы, собственно, и добивались.

Соответствующие формулы приведены в [404], а приближения (настоящие) описаны в [408] и [364].

< Здесь имеется еще одна сложность — можно сказать, потенциальная ловушка. Алгоритм Римана-Лиувилля-Вейля включает в себя свертку, и, как следствие, может возникнуть искушение реализовать его через метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). Поступив таким образом, мы получим периодическую функцию, т. е. функцию с исключенным систематическим трендом. При исследовании стандартных временных рядов исключение тренда не имеет практически никаких последствий, так как зависимость ограничена весьма кратким временным промежутком. В случае же ДБД исключение тренда последствия имеет (тем большие, чем больше \Н — Уз |), причем они могут оказаться очень и очень значительными. В развернутом контексте этот эффект можно проиллюстрировать сравнением различных горных пейзажей на рисунках, помещенных после следующей главы. Рисунки 370 и 371, полученные

352

Дробные броуновские фракталы о IX

с помощью БПФ, не демонстрируют никакого общего тренда и, как следствие, имитируют форму горных вершин, тогда как на рисунке 374, полученном без каких бы то ни было упрощений, общий тренд ясно виден.

Поскольку БПФ чрезвычайно экономично, часто бывает удобнее использовать все-таки его, однако период следует брать значительно длиннее, чем ожидаемый размер выборки, а также не забывать учитывать потери, которые возрастают, по мере того как Н —> 1. ►