СЛУЧАЙНО РАЗМЕЩЕННЫЕ СЛОИ

< Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию X (£) некоторой кривой Вхн (£). На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию А^Х (£) = Х^ {£) — Хк-\ (€), нуль-множество которой, во-первых, периодично с периодом 2~к и, во-вторых, включает в себя нуль-множество функции А^-гХ (Ь). То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.

Из-за того, что нуль-множества периодичны и синхронны («иерар-хичны»), приращения не могут быть стационарными. И наоборот, стационарности можно достичь путем устранения этих свойств.

Один из подходов состоит в построении ломаной функции АВ\. (£) следующим образом. Выберем пуассоновскую последовательность мо-

ментов времени Ьп со средним числом точек на единицу времени, равным 2к, затем положим, что функция АВ^. (£^) принимает независимые и одинаково распределенные случайные значения, и, наконец, произведем линейную интерполяцию между моментами времени £^. Бесконечная сумма В а (£) таких вкладов представляет собой некую стационарную случайную функцию, впервые описанную в докторской диссертации гидролога О. Дитлефсена (1969). (См. также [424] и [370].)

Оглянувшись назад, мы видим, что такое обобщение вовсе не требует, чтобы среднее число нулей было равно 2к. Оно может иметь вид Ък, где Ь — любая вещественная база, большая 1.

Допустимые отношения приведения соответствующего фрактала задаются дискретной последовательностью г = Ъ~к. По мере того как Ь —> 1, эта последовательность становится все более плотной, — в сущности, асимптотически непрерывной. Таким образом, функция В^н (£) стано-

26 о Случайные кривые срединного смещения

345

вится как нельзя более приемлемой для тех, кому нужны стационарность и широкий выбор коэффициентов подобия. Однако при этом она, к сожалению, теряет свою специфичность. Из рассуждений в [370] явствует, что функция В^н ({) сходится к случайной функции Вн (£), которую мы рассмотрим в следующей главе. ►