В результате соотношение между смещением АВ*Н на временном промежутке 2~к и двумя интерполированными смещениями А\В^ и А2В'Н принимает вид

ЦАгВ*^0 + \А2В*Н\° -\АВ*Н\°) = О,

где £) — некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.

Отсюда следует, что если временной интервал [£', £"] является двоичным, т. е. если Ь' = Н2~к и £" = (Н + 2) 2~к, то верно следующее:

(\АВ*Н\2)=А12'° = \АЬ\2Н.

Величину Н в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.

Можно также показать, что если В*н (0) = 0, то функция В*н (£) статистически самоподобна относительно отношений приведения вида 2~к. Это — весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью И = 2.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ

Не будем, однако, радоваться слишком бурно. Функция В*н (£) является статистически самоподобной относительно отношений приведения иного, нежели 2~к, вида только в пеано-броуновском случае (£> = 2), когда она сводится к В (().

Более серьезная проблема возникает тогда, когда интервал [£', £"] не является двоичным, хотя и имеет ту же длину At = 2~к — например, если I' = (Н — 0, 5) 2~к и £" = (Н + 0, 5) 2~к. На таких интервалах приращение АВН имеет иную и меньшую дисперсию, зависимую от к. Нижняя граница этой дисперсии выглядит как 21~2НАг2Н. Более того,

344

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

если известна величина АЬ, а время £ не известно, то распределение соответствующего приращения АВ*Н не является гауссовым, но представляет собой случайную смесь различных гауссовых распределений.

В результате складки, возникающие в двойных точках аппроксимирующего терагона, остаются и в предельной кривой. При размерности И чуть меньше 2 (т. е. при Н чуть больше У2) складки довольно незначительны. Однако, когда значение Н приближается к 1 (в главе 28 мы увидим, что при моделировании рельефа поверхности Земли нам приходится иметь дело с Н ~ 0, 8 ч- 0, 9), складки становятся очень заметными — их можно увидеть и на выборочных функциях. Единственным способом избежать их оказывается отказ от рекурсивной схемы срединного смещения, что мы и сделаем в следующем разделе и в главе 27.