Поскольку процедура срединного смещения проходит совершенно гладко с кривыми, размерность которых И = 2, возникает вполне естественное желание попробовать адаптировать ее к оригинальной снежинке и другим кривым Коха с N = 2, а затем применить упомянутую процедуру к построению поверхностей. Этим мы сейчас и займемся.

Пытаясь воспроизвести и улучшить графику «Фракталов» 1977 г. и обойтись при этом наиболее прямыми и наименее дорогостоящими процедурами, многочисленные художники, специализирующиеся в создании фильмов и графических работ с помощью компьютера, применяли, как правило, один и тот же общий подход. Эти специалисты оказались не способны осознать, что метод случайного срединного смещения дает результаты, существенно отличающиеся от тех, что они стремились достичь. Простота и в самом деле входит в число достоинств этого метода, однако вместе с тем он обладает многими другими, часто вовсе нежелательными особенностями.

ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ КОХА С ВРЕМЕННОЙ РЕШЕТКОЙ

Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием ./V = = 2, используя генератор, составленный из двух интервалов длины 1/у/З. В этом случае — вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины 2~Х1В, где И < 2, — само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон к-то терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально

26 о Случайные кривые срединного смещения

343

к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:

2-2(/с+1)/В _ 2~2(*;/£>+1)

Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадрати-ческому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через В*н (£), где Н = 1/1), что вскоре получит исчерпывающее объяснение.